확률의 곱셈정리 문제 하나

Question

아나..이거 확률은 개념을 이해하고 문제에 적용을 할 수 가 없네요..워낙 멍청해서 확률 정복 방법좀.. 각설하고문제들어가서어느 도시에서 야간에 뻥소니 사건이 일어났다. 이 도시 전체 차량의 80%는 자가용이고, 20%는 영업용이다.그런데 한 목격자가 뻥소니 차량을 자가용이라고 증언하였다. 이 증언의 타당성을 알아보기 위해 사고와 동일한 상황에서 그 목격자가 자가용 차량과 영업용 차량을 구별할 수 있는 능력을 측정해 본 결과 바르게 구별할 확률이 90%였다. 그렇다면 목격자가 본 뻥소니 차량이 실제로 자가용일 확률은?(단 모든 차량이 뻥소니 사건ㅇ을 일으킬 가능성은 같다고 가정한다.)완전 자세한 설명까지 부탁해요ㅜㅜ

완전수 · Accepted Answer

일단 문제는 다니엘 카네만(Daniel Kahneman)과 아모스 트벌스키(Amos Tversky)가 작성한 리포트에서 언급한 것이군요.
심리적인 확률과 실제 확률에서 발생하는 차이에 대한 리포트였는데, 실제 확률을 구하기 위해서는 "조건부 확률"의 개념을 명확히 알아야 합니다.

"조건부 확률"에 대한 간단한 예를 들어보자면,

문제. 주사위를 던져서 홀수가 나왔다고 할 때, 그 홀수가 3의 배수일 확률은?

풀이. 홀수가 나온 상황이므로, 그 때의 전체 상황은 { 홀수이면서 3의 배수, 홀수이지만 3의 배수가 아님}의 두 가지가 있습니다.
홀수이면서 3의 배수가 될 확률은 눈이 "3" 이어야 하므로 확률이 1/6 이고,
홀수이지만 3의 배수가 아닐 확률은 눈이 "1,5" 이어야 하므로 확률이 2/6 입니다.
확률은 해당확률/전체확률 이므로, 답은 (1/6) / (1/6 + 2/6)을 계산하면 1/3이 됩니다.

그렇다면, 본 문제를 살펴봅시다.
전체 상황은 목격자가 뺑소니 차량을 자가용이라고 증언하였으므로,
{뺑소니 차량이 자가용이고 목격자 진술이 정확함, 뺑소니 차량이 영업용이고 목격자 진술이 틀림}의 두 가지가 있습니다.
뺑소니 차량이 자가용이고 목격자 진술이 정확할 확률은 (8/10) × (9/10) = 72/100 이고,
뺑소니 차량이 영업용이고 목격자 진술이 틀릴 확률은 (2/10) × (1/10) = 2/100 입니다.
그러므로 답은 (72/100) / (72/100 + 2/100)을 계산하면 36/37 이라는 생각보다는 높은 확률이 나옵니다.

확률의 곱셈정리 문제 하나

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