수학문제 하나만 풀어주세여..
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1/l + 1/m + 1/n = 1 을 만족하는 서로 다른 순서쌍 (l,m,n) 의 개수를 구하시오. (l,m,n 은 자연수)
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2,3,6
2,6,3
3,2,6
3,6,2
6,2,3
6,3,2
6쌍이 답인것같습니다.
244 도 있긴한데요, 경우가 3가지 밖에 없다는걸 증명하거나 또는 답을 논리적으로 구할수 있는 방법이 있을까요..
333도 있는듯
아 넹 333 까지해서 답은 일단 10가지입니다 그냥 이렇게 풀라고 낸 문제일까요..?
이거 무슨 다큐에서 봤던거 같음
이게 개수가 유한하단걸 증명하는 거였던거 같은데
고등학생에게 던져줄만한 문젠 아닌거같은디...
음.. 경시 문제인점을 감안하면 심하게 오바가능할수도 있을것 같아서요..
풀이는,
일단 l3이면 m=n=4일때만 등식이 성립하고 이는 mn이 서로 다른 자연수임을 만족하지않음.
ii)l=3일때
m,n이 모두 3이어야 등식이 만족하는데 이또한 서로다른자연수라는 조건을 만족하지않음.
iii)l>3일때
1/l+1/m+1/n이 1보다 작아지게됨.
그래서 l,m,n은 2,3,6밖에 안됨. 근데 lmn 크기조건은 풀이를위한 조건일뿐이므로 서로 순서가 상관없으므로6가지경우의수가 존재함.
풀이썼는데 앞부분이 지워졌네요ㅠ
제가 문제를 잘못이해했네요. 그럼 2,4,4랑 3,3,3도 가능하므로 총 10가지입니다.
(수정)풀이는,
l=<m=<n이라고 놓고
l=2부터 넣어보면 됩니다.
l=1일때, 등식이 성립안됨
l=2일때,
1)m=2이면 등식 성립 안됨.
2)m=3일때 n=6
3)m=4일때 n=4
4)m>4일때 n<4이어야 하므로 안됨.
l=3일때,
1)m=n=3이면 등식성립.
2)m>3면 n<3이어야하므로 안됨.
3<l=<m=<n 이면 1/l+1/m+1/n이 1보다 작아지게됨.