함수에서 공역의 범위?
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이과 재수생이고 수1부터 다시 빠르게 복습중인데 수2 역함수 공부하면서 함수사이의 대응관계에 대해서 좀 깊게 생각하다보니 현역때 그냥 지나쳤던게 보이네요..
쨌든 궁금한건 보통 '그래프를 그리지 않는' 수2에 있는 함수의 대응관계를 보면 일대일 대응과 일대일 함수는 치역과 공역이 같냐 같지 않냐에서 구분이 되는데
보통 미적1이나 2에서 '그래프를 그리며' 판단했던 함수들은 역함수의 존재조건을 물을때 일대일 대응관계 까지 가지 않고도 즉,일대일함수선에서 x축에 평행한 직선을 그었을 때 전부 한 점에서 만나면 역함수가 존재한다고 판별했었습니다. 그리고 기억상에 이걸로 문제가 된 적은 없었던 것 같습니다.
그럼 우리가 x축, y축을 잡아가며 그렸던 함수의 그래프에서 공역이 어느부분인가요? '수학의 정석'에선 별다른 범위가 없을경우 공역은 실수전체로 한다고 했던게 기억이 납니다. 근데 이렇게 보면 말이 안됩니다..
음,, 특수하게 좌표평면 위에 나타낼때는 치역이 공역과 같아지기라도 하는건가요? 도대체 공역은 어느부분인가요?
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그냥 공역의 부분집합이 치역이라고 생각하시면될텐데..
부분집합은 당연하지만, 치역과 공역이 같지 않으면 역함수가 정의되지가 않는터라..
제가 생각하는게 맞는지도 모르겠고 댓글로 말씀드리기가 되게 애매하네요
걍 그래프 그리는거 대부분 공역=치역이니까요
음.. 명확하지가.. 저도 예전엔 그냥 그렇지 이러면서 넘어갔는데 뭔가 답답하네요.
애초에 대부분 주어진 함수가 R->R 이라서 신경 안쓰는거임
그럼 지수함수는 어떻게 설명할 수 있나요?
직관적으로는 일대일대응이긴한데 논리적으로 말이 안맞아서,,
공역을 양의 실수로 잡으면 되잖아요
공역을 실수전체로 잡으면 지수함수는 일대일대응이 아니죠
공역은 님 원하는대로 잡으면 되기때문에 걍 신경 안쓰는거에요.
애초에 일대일대응 함수인지 체크할 때 공역=치역을 고려해야 하는 경우는 공역이 주어지는 문제임.
공역을 자기 원하는대로 잡을 수가 있는거였나요??
치역이 함수에 따라 정해지는거죠.
원칙적으로 혹은 정석적으로는 공역->치역 순서로 생각하는게 맞아요. 하지만 문제푸는데 공역을 생각할 필요는 없죠. 조건에 맞게 공역을 설정하면 되니까요.
조건에 맞게 공역을 설명한다는 말에 대해서 좀만 더 자세히 말씀해주시면 감사하겠어요..
조건에 맞게 치역을 설정한뒤 공역을 치역에 맞추면 되니까 생각할 필요가 없죠.
공역을 마음대로 결정한다는 전제를 가지고 말씀하시는군요. 교육과정상에선 그런 언급이 없어서 궁금해서 그럽니다. 따지는 것 아니니 오해안해주셨으면해요..:)
함수의 그래프가 같아도 공역이 다르면 다른 함수인건 받아들이시나요?
아.. 함수의 그래프가 같다는 말은 '정의역과 치역의 대응 관계'가 같다는 것만 알려준다고 생각하고 계신거죠?
간단한 예를 들어보죠. 지수함수는 역함수를 가지고 있죠. 근데 지수함수의 공역을 실수전체로 늘리면 역함수를 가지지 않는데 과연 그게 지수함수인가요?
음.. 아니죠
그럼 이제 그래프가 같아도 공역이 다르면 다른 함수인걸 받아들일 수 있죠?
아 그렇네요.
그럼 공역을 마음대로 조절할 수 있다는 것도 받아들일 수 있죠?(비록 다른 함수여도!!)
아 받아들인 것 같은데 제가 제대로 받아 들였는지 확인좀 해주세요. 함수의 그래프가 그려지는 입장에서 좌표평면 위에 나타내는 건 '정의역과 치역의 대응관계'만 나타내어 진다. 함수가 결정되는 순간 정의역과 공역이 결정되는데 이 공역이 다르더라도 치역이 같다면 좌표평면 상에 나타내어지는 함수의 그래프 모양은 같을 수 있다. 따라서 함수의 그래프가 같아도 공역이 같은건 아니니, 공역은 실수범위 내에서 임의로 생각해도 된다. 제 사고과정에 끼워맞추려다보니 이렇게까지 해야하네요..ㅜㅠ 제대로 이해한거맞나요?
네 애초에 러프하게 이해하시면 됩니다. 이름이 있는 함수(지수.로그 등)는 공역을 고려해야하지만 이름이 없는 임의의 주어진 함수는 공역을 실수 내에서 임의로 잡아도 되죠!! 그러므로 공역을 따지지 않는거에요
아하.. 치역이 부분집합이 되는 범위 내에선 어떻게 공역을 잡든 어차피 그래프는 똑같은 모양이니 아무 상관없는거네요! 함수의 성립조건은 어찌하든 만족이 되니깐!
네 그러니 치역을 체크하고 공역=치역 처리하면 일대일 대응되니까 아무도 공역을 신경 안쓰는거에요!!
물론 제대로 이해하고 그러는 사람은 거의 없지만요.
아,.... 감사합니다.,. 머릿속에서 프레임이 다 맞춰지네요... 어떻게 이렇게 이해하신건가요? 혼자 생각해내신거에요?
공역을 치역에 맞춘다는 의미를 이해하게해준,, 당신은 은인입니다!
고등학교 때 님처럼 많은 고민과 의심을 했습니다..!
저 이거잡고 자꾸 뭔가 머릿속에 안맞아떨어지니 제가 알고있는 지식부터 의심이 되서 함수 정의부터 정의역,겅역,치역, 좌표축설정까지 왠만한 거 다 인터넷도 뒤져보고 정석도 보고 인강교재도 보고 거의 6-7시간을 고민하면서 함수 틀을 처음부터 다시 잡았거든요.. 고민만 몇시간을 했는지..
근데 이게 딱 마지막에 납득이 안된 부분이였는데 이 부분이 해결되면서 제 사고과정내에 서 딱 틀린거없이 맞아떨어지니 역으로 제가 다시 구축했던 체계가 제대로 자리잡은 것을 확인한 것 같아 기분이 좋네요. 아 정말 감사합니다..ㅜㅠ
저 한가지만 더 질문하고 싶은데, 그럼 'y=f (x) 라는 함수식' 역시 정의역과 치역사이의 대응관계를 나타낸 것 일 뿐 공역은 실수 범위 내에서 x값에 따른 가능한 y값 범위보다 크거나 같은 범위 내에서 임의로 설정해도 되는 거죠??
네