함수의 극한에 관하여 궁금한점이 있어 문의드립니다
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(1) 아닙니다. 'p이면 q이다'는 p가 q를 참으로 만들기에 충분한 조건이라는 뜻이지, 반드시 p라는 조건이 필요하다는 뜻은 아니지요.
예를 들어서 x = a 의 근방에서 (그러나 x ≠ a 는 유지한 상태에서) g(x) < f(x) 였다고 해도, lim_{x→a} f(x) = lim_{x→a} g(x) 인 경우가 발생할 수 있고, 이 경우 당연하게 lim_{x→a} f(x) ≤ lim_{x→a} g(x) 가 성립하기 때문에 결국 주어진 조건은 충분조건이지만 필요조건임이 확인됩니다.
(2) 역시 (1)과 비슷한 이유에서, 참이라고 할 수 없습니다. 예를 들어서 α = β 라고 해서 h(x)가 x = a 의 근방에서 α와 β 사이에 끼일, 즉 상수함수가 될 필요는 없다는 것이지요.
(3) 아닙니다. lim_{x→a} f(x) = ∞ 이나 lim_{x→a} f(x) = -∞ 는 분명 수렴하는 극한은 아니지만, 그럼에도 불구하고 그 양에 대한 분명한 경향 - 한없이 양의 방향으로 커지는 경향, 또는 한없이 음의 방향으로 커지는 경향 - 을 갖고 있습니다. 때문에 이 경향성을 왼쪽에서 혹은 오른쪽에서 따로 논하는 것도 가능하지요.
이렇게 생각해보세요. 이 극한은 수로써는 수렴하지 않는 - 따라서 무의미한 - 극한이지만, 그래프로 보면 분명히 어떤 곳 (뭔가 굉장히 멀리멀리 떨어져 있는 곳... 유토피아?) 을 가리키는 것처럼 보입니다. 즉, 기하학적으로 의미가 있습니다. 때문에 그 기하학적인 경향에 대해 수학적으로 의미있는 이야기를 할 수 있다는 것입니다.
(이에 대하여 여러가지 이야기를 할 수 있지만, 고등학교 과정이 아닌지라 이쯤에서 생략하도록 하겠습니다.)