읭미? 왜 계속해봐도 벡터 답이 안나올까나요.

Question

좌표평면위의 두 점 O(0,0) A(2,1)과 타원 (x-2)^2/4 + (y-1)^2 = 1 위의 동점 P에 대해 벡터 OA와 AP의 내적 OAºAP의 최댓값을 M이라 할때 , M^2=?

아까부터 4라는것만 나오네요. 답지에는 코사인싸인변형 (x-2)/2 = cos♭ 해서 풀라고하고 ㅡ,ㅡ(수험장에서 이게 생각나려나)

일단 전 P(x, y)로 해서 접선으로 구했는데 자꾸 M=-2가 나옴.. 뭐가문제죠?

아 , 답은 17 이에요

Perspiration · Accepted Answer

훔... 타원정의도 안쓰는 상태에서 좌표놓고 길이를 구해라니 무슨이런한심한문제가있나염;;

HalfMoon · Answer

벡터의내적은 도형의 평행이동과 관계없이 일정하므로 편의상 평행이동하겠습니다.

(x,y)->(x-2,y-1)로 평행이동하면

점 O는 (-2,-1), 점 A는 (0,0)으로 이동합니다.

타원은  x^2 /4 + y^2 = 1 로 이동합니다.

벡터 OA = (2,1) AP 는 타원의 중심을 시점으로 타원위의 한 동점을 종점으로 하는 벡터로,  (2cos t , sin t) (단 , t는 0에서 2파이) 로 나타낼수 있습니다.

OA와 AP의 내적은 4cos t + sin t 로 삼각함수의 합성에 따라서 Max = 17^1/2, min =  - (17^1/2)임을 알수있습니다.

(Max)^2=17 입니다.

설전 · Answer

음. 직접 풀어보지는 않았지만, 
생각으로는
내적 =  길이 x 정사영된 길이 
로 해서 보면, 직선OA 에 수직인 기울기갖는 타원에대한 접선 구하셔서,
원점에서 그 접선이랑 직선 OA와의 교점사이 거리 x  선분OA길이
하시면 나올것같은데;

9본좌 · Answer

타원에 기울기가 -2인 접선을 그어버리면 됩니다(단 접선의 y절편은 1보다 크죵...)

그러면 선분 OA의 길이 곱하기 A로부터 접선까지의 거리를 구하면 답이 나오는데...

선분 OA의 길이는 루트 5이고, A로부터 접선까지의 거리는 루트5분의 루트17이니까 M=루트17 제곱하면 17이요

하루10 · Answer

삼각치환이 더 괜찮은듯

읭미? 왜 계속해봐도 벡터 답이 안나올까나요.

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