관련해서 그냥 특수한 예 하나를 한번 유도해봤습니다.

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심화미적을 아신다면 한 번 세부사항을 직접 채워넣어가면서 볼 만한 문제입니다.

[문제 겸 설명] |x| < π 인 실수 x를 하나 고정하고, 자연수 N에 대하여

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?s_{N}(x)%20=%20\sum_{n=1}^{N}%20\frac{(-1)^{n-1}}{n}%20\,%20\sin%20n%20x$

로 정의합시다. 이때 s_N(x)의 미분은 다음과 같이 주어집니다.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?s_{N}%27(x)%20=%20\sum_{n=1}^{N}%20(-1)^{n-1}%20\cos%20n%20x$

따라서 코사인함수의 곱을 합차로 바꾸는 다음 등식

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\cos%20\frac{x}{2}%20\cos%20n%20x%20=%20\frac{1}{2}%20\left(%20\cos%20\left(%20n%20+%20\tfrac{1}{2}\right)x%20+%20\cos%20\left(%20n%20-%20\tfrac{1}{2}\right)x%20\right%20)$

으로부터, 다음 식이 따라나옵니다.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?s_{N}%27(x)%20=%20\frac{1}{2}%20+%20\frac{(-1)^{N-1}}{2}%20\frac{\cos%20\left(%20N%20+%20\tfrac{1}{2}%20\right%20)%20x}{\cos%20\tfrac{1}{2}x}$

[힌트: 위의 식을 s'_N(x)cos(x/2) 에 대입해보면 됩니다.] 위 식의 변수 x를 t로 바꾼 후 0에서 x까지 적분하면, s_N(x)가 다음과 같이 주어집니다.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?s_{N}(x)%20=%20\frac{x}{2}%20+%20\frac{(-1)^{N-1}}{2}%20\int_{0}^{x}%20\frac{\cos%20\left(%20N%20+%20\tfrac{1}{2}%20\right%20)%20t}{\cos%20\tfrac{1}{2}t%20}%20\;%20dt$

이제 위 식에 등장하는 적분 부분을 따로 떼어

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_N%20(x)%20=%20\int_{0}^{x}%20\frac{\cos%20\left(%20N%20+%20\tfrac{1}{2}%20\right%20)%20t}{\cos%20\tfrac{1}{2}t%20}%20\;%20dt$

라고 적읍시다. 그러면 R = 2N+1 로 두었을 때, 치환 u = Rt/2 를 통하여 다음 등식이 성립합니다.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_N%20(x)%20=%20\frac{2}{R}%20\int_{0}^{\frac{Rx}{2}}%20\frac{\cos%20u}{\cos%20\left(%20\frac{u}{R}%20\right%20)%20}%20\;%20du$

그리고 부분적분을 적용하면 다음 식이 유도됩니다.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?I_N%20(x)%20=%20\frac{2}{R}%20\frac{\sin%20\left(%20\frac{Rx}{2}%20\right%20)%20}{\cos%20\left(%20\frac{x}{2}%20\right%20)%20}%20-%20\frac{2}{R^2}%20\int_{0}^{\frac{Rx}{2}}%20\left(%20\frac{\sin%20u%20\,%20\sin%20\left(%20\frac{u}{R}%20\right%20)}{\cos^2%20\left(%20\frac{u}{R}%20\right%20)%20}%20\right)\;%20du$

이제 삼각함수의 증감을 잘 생각해보면, |u| ≤ |x| 이면 항상

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left|%20\frac{\sin%20u%20\,%20\sin%20\left(%20\frac{u}{R}%20\right%20)}{\cos^2%20\left(%20\frac{u}{R}%20\right%20)%20}%20\right|%20\leq%20\frac{1}{\cos^2%20\left(%20\frac{x}{2}%20\right%20)}$

임을 알 수 있습니다. 따라서

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\left|%20I_{N}(x)%20\right|%20\leq%20\frac{1}{R}%20\left(%20\frac{2}{\cos%20\left(%20\frac{x}{2}%20\right%20)}%20+%20\frac{x}{\cos^2%20\left(%20\frac{x}{2}%20\right%20)}%20\right%20)$

이 성립하고, R = 2N+1 에서 N→∞ 로 갈 때 샌드위치 정리에 의해 우변이 0으로 수렴함을 압니다. 따라서 좌변도 0으로 수렴합니다. 따라서

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sum_{n=1}^{\infty}%20\frac{(-1)^{n-1}}{n}%20\,%20\sin%20nx%20=%20\lim_{N\to\infty}%20s_N%20(x)%20=%20\frac{x}{2}$

입니다. 물론, |x| < π 라는 범위는 여전히 유효합니다. 하지만 좌변은 최소한 2π를 주기로 반복되는 주기함수이기 때문에, 우변의 값 역시 2π를 주기로 계속 나타나게 됩니다.

물론, 푸리에 급수라는 내용을 배우게 되면 일반적인 주기함수를 삼각함수의 합으로 표현하고 또 그 합에서의 각 삼각함수 항의 계수를 계산하는 법을 배울 수 있습니다. 물론 이는 이론이 뒷받침되거나, 그 뒷받침되는 이론의 힘을 믿은 상태에서의 이야기이지요. 위의 내용은 특수한 푸리에 급수를 고등학교 범위(??)에서 한 번 유도해 볼 수 있도록 해 본 것입니다만... 뭐랄까, 역시 고등학교 수준은 아니라는 생각이 막 드네요.

으앙, 이런 거 관심있어하는 사람이 있을지 모르겠네요 ;ㅅ;