수학 갓갓님들 질문하나만 받아주세요 ㅠㅠ (치환적분과 치환 후 적분의 차이)

Question

기출 문제중에 g(e^x) 이 0~1 구간에선 f(x)로 정의되고 1~2에서는 다르게 정의되며 여기서 적분을 활용해서 푸는 문제가 있는데

여기서 e^x를 t로 치환 하고 f(lnt) (1<=t<e) 를 얻어 낸 후 f(lnt)를 구간 1~e 에 대하여 적분하는 것과

비교해서 치환 하기전에 인테그랄0~1 g(e^x)dx = 인테그랄0~1 f(x)dx 를 만든 뒤 e^x = t로 치환할 때에는 함수 뒤에 1/t 가 붙게 되더라구요... 즉 먼저 치환하고 적분하는 것과 치환적분 방식으로 할 때의 적분식의 차이가 생기게 되는데

이 차이가 어째서 생기는 건가요?? 그리고 어떠한 경우에 먼저 치환하고 적분해야하고 어떠한 경우에 치환적분을 사용해야 하는건가요?? 이 문제 같은 경우에는 전자같은 방식으로 치환하고 적분해야 답이 나오더라구요...

EEpsy · Accepted Answer

후자로해도 부분적분하면 똑같이나오지않나요?

zhuny · Answer

치환적분은 복잡한 적분식을 적분할 수 있는 형태(알고있는 적분 공식)로 바꾸기 위해서입니다. 간단히 만들어 주기 위해서 입니다.
1/t가 붙는 이유는 적분식 마지막에 dx, dt 때문입니다. e^x=t 같은 경우, x=ln(t) 이고, 미분하면, dx=dt/t 가 됩니다. 그래서 dx를 dt로 바꾸기 위해 1/t가 추가됩니다.

수학 갓갓님들 질문하나만 받아주세요 ㅠㅠ (치환적분과 치환 후 적분의 차이)

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