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Question

정적분의 치환적분법에서 x를 t에 관한 함수 x=g(t)로 치환할때, (2x^3-2=t 같은 게 이 얘기임)
x=g(t)는 일대일 대응이야 하므로, 반드시 항상 증가하거나 감소하는 그래프가 나타난다는데요...

반드시 일대일 대응이어야 할 필요는 없지 않나요?
x=g(t)로 치환할 때, t의 최솟값 최댓값을 각각 범위의 위끝과 아랫끝으로 지정해준 뒤에 치환적분법을 이용해서
계산하면 안 되나요?

왜 참고서에 위와 같은 설명이 쓰였는지 모르겠네요 ㅠㅡㅜ

Sacrifice♡ · Accepted Answer

기본적으로 합성함수 그래프그리는것에대해서 개념이부족하셔서그런것같아요 치환은 합성함수와 정확하게일치하는개념인데 그려보심알듯; 1:1대응이아니면 그런식으로 치환해서 그래프그리는것은 일반적으로말이안댐

sos440 · Answer

뭐, 솔직히 고백하자면 딱히 일대일 대응이 아니어도 상관은 없습니다. 대신 시작점과 끝점만큼은 바꾸면 안되지요.

즉 적분 ∫_{from a to b} f(x) dx 가 있다고 할 때, x = g(t)로 치환을 한다면, g(t)는 적어도 개떡같은 함수면 안되고 (대충 미분가능하고 도함수가 연속 정도는 되어줘야 안심하고 쓸 수 있지요.) g(c) = a, g(d) = b 혹은 g(c) = b, g(d) = a 정도는 만족해줘야겠지요.

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