EBS 수능완성 수학1 행렬 16번 문항입니다.
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16. 두 이차정사각행렬 A,B에 대하여
A + B = 2E / AB = -BA 가 성립할 때, 항상 옳은 것은?
ㄱ. B = 2E
ㄴ. A2 = 2A
ㄷ. A2 B2 = B2A2
정답이 ㄴ,ㄷ으로 나와있는데요.
계산을 해보면 A2 = 2A 이고, B2 = 2B 입니다.
저는 ㄷ이 틀렸다고 했는데요, 이유는
A2 B2 = 2A2B 이므로 4AB.
4AB = -4BA
-(2B)(2A) = -B2A2
로 계산되었기 때문에 ㄷ이 틀렸다고 했습니다.
그러나 해설지에서는,
A2 B2 = A(AB)B = A(-BA)B = -(AB)(AB) = -BABA = -B(AB)A = -B(-BA)A = B2A2 (참)
이라고 해설 되어있습니다.
무언가 이상하다 싶어 질문드립니다 ...
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-B^2A^2 = B^2A^2 이기 때문에 참입니다
그리고 A + B = 2E 에서 교환법칙이 성립하기 때문에 계산할것도 없이 참입니다
두 번째 해설하여 주신 것은 이해가 됐으나, 첫 번째 해설하여 주신 것은 이해가 되지 않았습니다...
어디에서 단서를 잡아야 하나요 ?? 찾을 수가 없습니다 ... ㅠㅠ
왜 그런지 이유를 살펴보시면 간단합니다. 결론은 두 분 다 맞다는 것이며, 그 이유는 AB = BA = O 이기 때문입니다. 증명을 해 볼까요?
A+B = 2E 이므로, AB = A(2E-A) = (2E-A)A = BA 인데, 또 다른 조건으로부터 BA = -AB 이므로, 2AB = O 입니다. 즉, AB = O 이고 BA = O 이라는 것이지요. 그래서 A²B² = AABB = O = BBAA = B²A² 인 겁니다.
아 ....... !!! 고맙습니다 ^^ // 아직도 실력이 부족한가 보네요 ... ㅠㅠ