수학굇수님들오세요! 영벡터의 방향에 대해
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영벡터의 방향은 '모든 방향'이라고 하네요. 띠용..
저는 방향이 없다고 생각했거든요ㅜㅜ
그렇게 생각한 이유는
cos(세타)를 구하는 식에 있는데요.
다들 아시겠지만 저 코사인 값을 구하기 위해서는 두 벡터의 크기를 분모에 넣어서 곱해줘야 합니다.
하지만 영벡터의 크기는 0인게 자명하므로 분모가 0이 됩니다. 좌변은 실수값인 cos, 우변은 분모가 0. 따라서 cos값이 정의가 안됩니다.
'정의되지 않음'을 '방향이 없음'이라고 생각했는데 정의되지 않아서 모든 방향이 되는건가요.
암튼 제 생각은 여기까지인데 보충 설명해주실 수학 굇수분 와주세요ㅜㅜ
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굇수들 구경하러 왔는데굇수들도 해결 못할것같이서...
굇수를 찾는다니여...거울 보세요ㅜㅜ
왤케 겸손하세요 서울대 그렇게 쓸 거면 나 줘요
제가 뀨대 뱃지 달고 나대볼테니깐 켕헤헤헿헿헤헤헿
여긴 굇수님들 많아서 무슨 질문 해도 다 알아갈수있음 헤헤약간 북극에선 모든방향이 남쪽인 그런느낌인가???
저도 신선해서 옯에 질문 올려봤어용
그래서 모든 벡터랑도 수직이래요 뭐짘ㅋㅋㅋㅋㅋ
이창무쌤이 개정상에서 모든방향이라고 설명해주셨어용
네네 혹시 왜 그런지도 알려주셨나여??
코사인 값은 방향을 찾는 하나의 판별법일 뿐입니다. 고로 코사인이 구해지면 그게 방향이겠지만, 코사인이 없다고 해서 방향이 없다고 하는 건 무리라고 생각해요.
사실 벡터공간이라는 게, 몇 가지 공리만 만족하면 되는 거라서, 우리가 사는 세계의, 예를 들어 내적은 각 성분의 곱의 합이고, 거리는 제곱제곱 해서 루트 때리고 이런것들은 엄청 특수하고 가지고 놀기 좋은 케이스일 뿐이예요. 얼마든지 다르게 정의할 수도 있습니다. (예를 들어 거리는 x성분의 차+y성분의 차 등등) 이런 공간에서는 코사인이란 거 자체가 무의미해지겠죠...
사실 저도 선형대수학 정도만 공부한 상태라, 그래서 방향이 뭔데? 라고 물으면 막막하긴 합니다. Euclidean space(앞서 말한 '우리 세계', 고등과정에 나오는 좌표평면 및 좌표공간) 이외에서 방향이란 게 정의되는지도 사실 잘 모르겠네요.
다만 선형대수학에서, 영벡터는 어디에도 끼지 못하는 천덕꾸러기보다는, 모두에게 포함되는 만능열쇠 같은 느낌입니다. 애초에 영벡터가 없으면 집합 자체가 성립이 안되기에...
벡터의 평행으로 접근하면 어떨까요?
벡터의 스칼라곱이 정의되므로, 한 벡터에 임의의 스칼라를 곱한 모든 벡터가 걔랑 평행(?)하다.
(1,2) 의 가족들에는 (2,4)도 있고, (3,6)도 있고, (-0.7,-1.4)등등도 있는데, (0,0)만 끼워주지 않으면 뭔가 어색하지 않나 싶잖아요
모든 직선이 원점을 지나고 원점에서 만나니까.
비무장지대가 아닌, 모두의 성지이고 모두의 예루살렘인거죠
아 첫문단에 대해 저도 의문이 있었습니다.
저는 아직 배움의 깊이가 얕아서 코사인 공식과 실제
각도가 상보적 보완관계인지 인과 관계인지 도저히 파악하기가 너무 힘들었어요.
마지막 문단의 주장이 무척 설득력있게 들리는 것 같습니다. 성분화와 위치벡터의 관점으로 바라보면 어떤 벡터든 관련없이 (0,0)이 들어가니까요.
또는 제가 생각해봤는데 비슷한 논의로,
두 벡터 a,b가 평행하려면(방향이 같으려면)
벡터a=벡터b×(임의의 실수 t)
관계가 성립하는데 벡터a를 영벡터라 정의하면 벡터b의 성분과는 관련없이 t=0일때 항상 성립한다고 볼 수도 있지 않을까 생각합니다. 그러면 영벡터,즉 벡터 a는 모든 벡터들과 평행하니 모든 방향을 가진다고 볼 수 있지 않을까 싶네요
깊이있는 답변 진심으로 감사드립니다
+)밑에서 세번째 줄의 '직선'은 제가 스스로 바꿔서 이해했습니다 오타인거 맞죠??
직선이란 말은 위치벡터들의 집합(즉, 점들의 집합) 의도로 생각해 주세요. 수학적으로 엄밀한지는 모르겠네요
네네 그렇게 이해했습니다. 정말 감사합니다!