역함수 미분 관련 문제입니다. 쉽게 설명 좀 해주세요...

Question

[미분가능한 함수 f(x)의 역함수를 g(x)라 하고, 함수 y=f(3x-2)의 역함수를 h(x)라 할 때, h'(x)를 g'(x)를 써서 나타내어라]

일단 문제는 이게 다입니다

개인적인 말을 몇마디 올리자면 역함수 미분과 관련해서 거의 포기상태이다가 언제부턴가 각성이라도 했는지

막히지않고 거침없이 풀려서 역함수 미분문제는 자신이 붙은 상태였는데 갑자기 이 문제에 막히고 말았습니다 -_-

문제집에서도 3점 그룹에 속해있고 문제 자체도 그다지 어렵지 않게 보였는데 이런 문제에 막힐줄은 상상도 못했네요 ㅡㅡ;;

답변 부탁합니다

수외호구 · Accepted Answer

이런 문제를 헷갈리시는 분분이 종종 있네요.

(독동에서 올해 3월 대성에서 ln으로 표현된 거의 비슷한 문제가 출제되어서 질문하신분이 있었어요..
그분은 딱 그거틀려서 97점이시던데도 헷갈려하시더라구요 님만 그런거 아니니까 걱정뚝)

h(x)를 직접 나타내세요.

y=f(3x-2)에서 x와 y의 자리를 바꿔준 후

그 식에서 y= ~~~ 로 표현하게 되면 y=~~~=h(x)인거죠

x=f(3y-2) 에서

g(x)=3y -2               ----------> 윗식에서 이 식으로 넘어올 수 있는 이유는, f(g(x))=x 니깐 그걸 이용해서 양변의 값을 g(x)에 각각 대입만 해준겁니다

y={g(x)+2}/3 = h(x) 입니다

h'(x) = 1/3 g'(x) 가 되겠네요

헷갈리신 이유는 y=f(3x-2)의 역함수를 표현하는 법을 모르시거나 잊으신 것이므로

고등수학 하의 함수 단원 역함수 부분에서 허점이 생긴 것이니 그쪽을 참고하셔서 보완하시면 될 듯 하네요

shininglore · Answer

이렇게도 풀수 있습니다..
먼저 f(x)의 역함수가 g(x)이고, f(3x-2)의 역함수가 h(x)니까
1.g(f(x)) = x
2.h(f(3x-2))=x 
이렇게 두 식이 나옵니다..
위에꺼 x에 대해서 양변 미분해봅시다.. 
g'(f(x))f '(x) = 1이 됩니다

아래꺼를 x에 대해서 미분해볼까요
h'(f(3x-2)) 3f '(3x-2) = 1이 됩니다..
우리가 구해야 하는 것은 h'(x)를 g '(x)에 대해서 나타내는 것이니까
                    1
h'(f(3x-2))=------------ = 1/3 g '(f(3x-2)) 이렇게 됩니다( 위의 두 식 이용하시면 나옵니다) 
                    3f '(3x-2) 
                                   
결국 h '(f(3x-2)) = 1/3g'(f(3x-2))가 되는데 f(3x-2)는 어차피 같으니까 t로 치환한다음에 다시 x로 치환하시면
                          
답은 h'(x)= 1/3 g'(x) 나오네요..

원함수와 역함수를 합성시키면 항등함수가 된다는 식을 가지고 양변을 미분해서 원하는 값을 얻을수 있는 x를 대입해서 찾아내면  역함수의 도함수 = 1 / 주어진 함수의 도함수 이런 식 안쓰셔도 됩니다

이렇게 문자로 안나오고 숫자로 나올때 특히 편리합니다

역함수 미분 관련 문제입니다. 쉽게 설명 좀 해주세요...

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