미분계수의 정의좀 봐주세요 .....

Question

수학의 정석책 기준입니다 

lim h->0 :f(a+h)-f(a)/h  의 극한값이 존재할때 f(x)는 x=a에서 미분가능하다 

라고 나와있습니다 



lim h->0 :f(a+h)-f(a)/h  의 극한값이 존재할때 =P 

f(x)는 x=a에서 미분가능하다 =Q 

즉 P이면 Q이다로 놓을게요 





정석책에서 f라는 함수가 연속함수인지 불연속 함수인지 조건을 주지 않았습니다 

즉 Q이면 P이다는 100% 참이라고 생각하지만 (미분가능하면 당연히 연속이고 극한값 같겠죠)

P이면 Q이다라는건 거짓이라고 생각되는게 예를들어 x=a에서 불연속이라고 하면 극한값은 일치하게 되지 않나요 ? 하지만 불연속점에서의 미분계수는 존재하지 않습니다 

x=a가 불연속일때 lim h->0-:f(a+h)-f(a)/h  와 lim h->0+:f(a+h)-f(a)/h  의 값은 같다고 생각이 된다는거죠 ... 즉 x=a에서 미분불가능 하다라는게 제 생각인데 .. 



정석책이 틀릴리도 없고 어디서 잘못됐는지 고쳐주세요 ...

여니서리 · Accepted Answer

우선 분자에서 f(a)라고 쓰는것 자체가 함숫값이 존재함을 내포하는거고여 함숫값이 없는데 저렇게 쓸수는 없습니다

그리고 극한값이 존재한다는것은 분모가 0으로 향하고있으므로 분자도 0으로향해야하므로 여기서 f(a+h)-f(a)가 0으로 수렴해야하므로 연속인게 증명되죠

즉 lim h->0 {f(a+h)-f(a)} = 0이 성립함은 f(x)가 a에서 연속이라는조건을 모두 만족하는식입니다

스트라디바리우스 · Answer

lim h->0 :f(a+h)-f(a)/h의 극한값이 존재하므로 lim h->0 :(f(a+h)-f(a)=0)입니다
즉 함수 f(x)는 x=a에서 연속입니다.
또, 만약 질문자님의 말처럼 불연속함수라면 극한값 자체가 나오지 않습니다. 발산하죠.

수능생 · Answer

직접 불연속인 그래프를 그려서 정의에 따라 우미분계수와 좌미분계수를 각각 구해보세요~ ㅎㅎ

예를들면 

f(x) = 1 ( x≥0) , 
f(x) = 0 (x<0) 으로 함수를 두고 한번 정의에 따라 x = 0 에서 도함수를 유도해보셔요~

미분계수의 정의좀 봐주세요 .....

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