●교과서 분석 - 조건부확률 : 독립과 종속

Question

Q.주사위를 던질 때, 짝수가 나오는사건을 A 홀수가 나오는 사건을 B라 하면

A와 B는 독립이다 [ O . X ]

O라고 대답하셨다면 , 혹은 P(A∩B) = P(A) x P(B)로 계산해서맞추셧다면

개념에대한 이해가 부족한것이니 이글을 잘 참고해보시기 바랍니다

단원이 조건부확률 입니다

그렇다면 조건부확률로써 다루겠다는 것인데

조건부확률이란 , 어떠한 특정사건아래에서 다른사건이 일어날 확률이며

P(B l A) = P(A∩B) / P(A) 입니다

이런식으로만 알면 부족한것입니다. 분명히 그의미를 되새겨야합니다 언어영역 잘하시는분들은 무슨말인지 아실껍니다

분모는, A라는 사건이 전체사건이라는 거고, 분자의 의미는 A라는 사건하에서 B라는 사건이 가지는 비율입니다

정확히 이해하셔야합니다.

확률의 곱셈정리가 그다음 나오는데, 이는 조건부확률의 변형을 통해 정의합니다

즉, 직관적 이해를 요구하는거죠, 의미를 알필요가 없습니다. 단지 P(A∩B)를 구하고픈데 조건부확률과 ,어떤 특정확률밖에 모를떄

P(A∩B) = P(B) x P(A l B) 로 변형해서 구하라는 의미입니다 증명은 필요하다면 꼭해줍니다 쓰임을 이해해야하죠

다음 가장중요한 사건의 독립과 종속입니다 그림 봐주세요

어떤 상자에서 공을 꺼내는 표본공간에서 첫번쨰로 빨간공이 나오는게 A , 두번째로 빨간공이 나오는게 B라 할떄, 알아보는겁니다

파란색 부분을 보면 , i)비복원 추출 이라는의미입니다

빨간색 부분을 보면, P(B)라는 사건을 구하기위해 각각을 분리해서 사고하는 베이즈의 정리의 사고가 쓰입니다

그이후 곱셈정리를 이용해 사건을 구하고 있습니다 . 빨간색 과정을 머리속에 완벽히 이해해두시고

혹시나 조건부확률 문제가 나온다면 반드시 이방법으로 풀어보시기 바랍니다

특정사건을 구할 수 없고, 그와 관계된 부분을 알고 있을경우, 특정사건을 ''케이스 분류'' 하는것과 같이 나누어서 생각하고

곱셈정리를통해 그사건의 확률을 구체화 하여 구하는 매우 전형적인 사고방식입니다

표를 그릴수 있는 문제는 무조건 이 사고가 쓰이며, 사건3개 이상이 나오고 표 그리기 불가능한 경우 이 풀이가 가장빠르고 정확합니다

두번쨰 파란색 ii)는 복원추출입니다

그다음 결과를 분석해보면 초록색을 보면

P(B l A) = P(B) 가 성립할경우 즉 사건 A가 일어나는것이 B가 일어나는것에 영향을 주지않는것이 독립이라 정의하고 있습니다

이의미가 몸으로 느껴지십니까? 독립의 이해에 대한 정의는 바로 이부분입니다

어떠한 사건이, 다른사건이 전체집합속에 놓인 경우라도, 그 사건이 차지하는 비율이 변하지않는다!

대단원 명제인 조건부 확률과 연관해서 정확히 사고해보시기바랍니다

서로 사건이 독립이라면! 그 두사건 사이의 관계에서 어떠한 상황이 놓이더라도

확률이 변하지 않는다는 의미이며, 일반적으로 대부분의 사람들이 헛깔리는 배반사건과는 전혀다른 의미입니다

그리고 우리가 일반적으로 알고있는 독립의 정의. 밑에 서술되있는 P(A∩B) = P(A)xP(B)는

확률의 곱셈정리로 변형한 것에 불과하고, 그의미는 P( B l A ) = P( B ) 에 모든의미가 담겨있는것이죠

다만, 곱셈결과로 변형된 것또한 계산문제나, 여타 '''상황이 애매하게 얽혀 있는 부분에서 독립여부를 파악하기위한

어떠한 장치''' 로써의 역할도 분명히 할수 있기에, 두가지 식을 모두 알아두어야합니다

자 그리고 뒷장을 펴보세요 뒷장에 독립시행이 있는데, 그 부분을 자세히 읽어보시고

위의 사진을 다시보세요 ii)의 복원추출과 A , B 사건을 어떻게 정의했는지 보세요

만약 C라는 사건을 3번째로 빨간공이 나오는 사건 이라고 해도 A B C는 모두 독립이 되며

이는, 복원추출이라는 상황이 바뀌지 않는 순간에서, 다음시행과 모두 독립을 가지는 독립시행입니다

즉, 독립과 종속을 증명하는 과정자체속에 이미 독립시행이 무엇인지 알려주고있습니다

인강선생님들이 이렇게 말하죠. 복원추출이라고 독립인것은 아니다 .

당연한 이야기죠. 복원추출이라도 사건을 다르게 정의하면 당연히 독립이 아닙니다

문제에서 독립에 대해 어떻게 이야기하고 있고, 독립시행이란 무엇인지 명확히 보여주고있습니다

독립이란 개념이 완벽히 이해되셨는지 모르겠네요 그렇다면 개념체크

Q. 주사위를 던질때, 짝수의 눈이 나오는 사건을 A라 하자 .

이때, A와 독립을 이루는 사건을 B라고 할떄, B의 부분집합의 개수는 ?

독립의 의미를 이해하셨다면, 그리 어렵지 않을것입니다

이해하지못하셨다면 힘들것이구요

교과서를 분석하는게 단순히 읽고 이해하는 차원에만 머물러도 됩니다

근데 완벽히 이해한것 맞나요 자신이 알고있던것에 껴맞춰서 이해한것 아닌가요?

교과서 안보고 기출문제만 무작정반복해도 좋은점수 받을수 있습니다

근데 기출문제 풀면서 그풀이 자체가 뭔가 외워서 푸는듯 하고, 내 것이 되지않는다면

개념을 깊게 이해하여야 그측면에 빨리 다다를수 있습니다

수학적사고력 · Accepted Answer

수정 끗 .

문제 풀이법은, P(A)=1/2 이기에 , B라는 전체집합이 놓인상황에서도 P(A∩B)의 비율이 변하지 않아야합니다

사실상 독립이란 조건부확률에서 정의된다고 해도 될꺼같네요 단원명칭이 괜히 조건부확률이 아니죠

그렇다면 A={2,4,6}인데 이떄 n(A∩B)= 1 , 2 , 3 일떄를 나누어서 

구한후 합의법칙으로 더해주면 됩니다

서초종로 · Answer

다들 그렇게 생각하고 있는거 같은데요...;;

열심히해야지 · Answer

와 정말 좋은 설명입니다 이해가 어려웠는데 많은 도움 되었습니다 

오래되서 제 댓글  보실진 모르겠네요;; 정말 좋은설명이예요

●교과서 분석 - 조건부확률 : 독립과 종속

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