[박수칠] 함수 f(x)g(x), f(x)/g(x)의 그래프 개형 (미적분2)
게시글 주소: https://orbi.kr/0008113793
미적분2에서 미분법의 활용 단원의 문제들은
대부분 함수의 그래프와 연결됩니다.
특정 함수의 그래프 특성을 물어보는 문제도 있고,
접선 문제, 최대·최소 문제, 방정식·부등식 문제를 풀기 위해
그래프를 그려야하는 경우도 있습니다.
이를 위해 함수의 그래프 개형을 파악하려면
많은 요소들을 고려해야 합니다.
미적분1처럼 함수의 증가·감소와 극점 파악은 기본이요,
아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점, 점근선까지 알아야 하죠.
특히 아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점에 대한 조사는
이계도함수를 이용해야 하기 때문에 귀찮습니다.
그런데 도함수나 이계도함수를 이용하기 전에
함수식의 특성만으로 그래프 개형을 어느 정도 짐작할 수 있다면
그래프를 그리거나, 그래프 관련 문제를 풀 때 상당히 유리하겠죠.
이 글에서는 함수식이
f(x)g(x)의 꼴 또는 f(x)/g(x)의 꼴로 표현되는 함수에 대하여
도함수와 이계도함수를 거치지 않고 그래프 개형을 파악하는 법에 대해
얘기하고자 합니다.
도함수나 이계도함수를 이용하지 않고 그래프 개형을 파악하는 과정은
다음의 3단계로 이루어집니다.
(1)단계: 함수식으로부터 다음의 요소들을 조사
① 우함수, 기함수 같은 그래프의 대칭성
② 정의역과 x절편
③ y값의 부호
④ 점근선
(2)단계: (1)단계에서 찾은 각 요소들을 좌표평면에 표시
(3)단계: (2)단계에 표시된 요소들을 곡선으로 부드럽게 이어주기
이 과정을 제대로 이해하려면 예가 필요하겠죠?
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 실수 전체의 집합, x절편은 0과 1
③ e^x > 0 이므로 y의 부호는 x(x-1)의 부호와 같음
구간 (-∞, 0)에서 y > 0, 구간 (0, 1)에서 y < 0, 구간 (1, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → 0 이므로 x → -∞일 때 점근선 y = 0
x → ∞일 때 y → ∞ 이므로 x → ∞일 때 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2)단계
x축 위에 x절편을 표시한 다음,
y의 부호에 맞춰 그래프가 지나는 모양을 표시
점근선의 위치도 y의 부호에 맞춰 표시
(3)단계
(2)단계에서 표시한 요소들을 곡선으로 부드럽게 이음
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
이 정도면 비슷하죠? ^^
계속해서 다른 예도 살펴봅시다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 양의 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ (x-2)² ≥ 0 이므로 y의 부호는 lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y < 0, 구간 (1, 2), (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → -∞이므로 점근선 x = 0
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2), (3)단계
(함수식에 (x-2)²이 포함되어 있기 때문에
그래프가 x=2일 때 x축에 접함을 예상할 수 있음)
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 0을 제외한 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ y의 부호는 x(x-1)(x-2)의 부호와 같음
구간 (-∞, 0)에서 y < 0, 구간 (0, 1)에서 y > 0,
구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → -∞이므로 그래프는 왼쪽 아래로 향함
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프는 오른쪽 위로 향함
x → 0-일 때 y → -∞이므로 점근선 x=0
x → 0+일 때 y → ∞이므로 점근선 x=0
(분자 차수) ≥ (분모 차수)이므로 분자를 분모로 나누면
y = x -3 + 2/x 가 되고,
x → ±∞일 때 2/x → 0이므로 y ≒ x-3 으로 볼 수 있음
따라서 x → ±∞일 때 점근선 y = x-3
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 실수 전체의 집합, x절편은 1과 2
③ e^x > 0 이므로 y의 부호는 (x-1)(x-2)의 부호와 같음
구간 (-∞, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → -∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 왼쪽 위로 향함
x → ∞일 때 y → 0이므로 점근선 y = 0
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 2를 제외한 양의 실수 전체의 집합, x절편은 1
③ y의 부호는 (x-2) lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → ∞이므로 점근선 x = 0
x → ∞일 때 y → 0이므로 y = 0
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(1)단계
① 그래프 대칭성 없음
② 정의역은 1을 제외한 양의 실수 전체의 집합, x절편은 2
③ y의 부호는 (x-2) lnx의 부호와 같음
구간 (0, 1)에서 y > 0, 구간 (1, 2)에서 y < 0, 구간 (2, ∞)에서 y > 0
④ x → 0+일 때 y → 0이므로 x → 0+일 때 그래프가 원점으로 향함
x → 1-일 때 y → ∞이므로 점근선 x = 1
x → 1+일 때 y → -∞이므로 점근선 x = 1
x → ∞일 때 y → ∞이므로 그래프가 오른쪽 위로 향함
(2), (3)단계
위 함수의 실제 그래프는 다음과 같습니다.
(구간 (0, 1)에 변곡점이 존재하지만 개형에서는 확인 불가능)
지금까지의 예를 보면 이 방법이 참 잘 통하는 것 같은데…
그럴싸한 함수만 예로 들어서 그런 것이지
절대 만능은 아닙니다.
그럼 어떤 함수가 잘 통하는가?
f(x)g(x), f(x)/g(x)의 꼴에서 f(x), g(x) 각각이
실수 범위에서 예쁘게 인수분해되는 다항함수
또는 간단한 지수함수, 로그함수여야 합니다.
여기에 맞지 않다면
증가·감소와 극점, 아래로 볼록·위로 볼록과 변곡점을
파악하기 위해 도함수, 이계도함수에 대한 조사가 필수입니다.
예를 들어 다항함수 부분이
실수 범위에서 인수분해되지 않으면
x절편과 점근선만으로 극점의 위치를 예상할 수 없습니다.
다음은 함수 의 그래프입니다.
이 함수의 분자 5x²+3x+1이 실수 범위에서 인수분해되지 않기 때문에
x절편, y의 부호, 점근선만으로 그래프 개형을 그린다면
극대, 극소가 나타나지 않습니다.
그러니 잘 활용하되, 맹신하지는 마세요~ ^^
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
십덕의 물2 2
개념만 잘 알면 물2는 6모보다 쉬운듯?
-
모의고사를 볼 때마다 빡통에 기까워지ㅡㄴㄴ
-
준다고 하는 소문이 있어요
-
요즘애들보면 초딩 저학년때나 조금 선생님 보고 쫄지 한 중딩 넘어가고서부턴 그냥...
-
남대생기면 갈사람 없을듯 누가 성인되고 남대 군대 트리를 감 ㅋㅋ
-
아 키 안크나 0
현 178 고3 인데 키크고싶다 적당히 180 만 넘으면 좋을것 같은데
-
어제 봤어야하는데 잠들어버린..
-
수학 2등급 1
5월까지 수학 1번만 풀 수 있는 노베였다가 5월달부터 열심히 하기로 마음먹어서...
-
얼버기 6
어제 10시에 잠듦
-
금토일 술마시고 월부터 달린다
-
"화질 좋은 아이폰으로 바꾸세요"…유치원 교사, 학부모 말 듣고 황당 1
휴대폰 화질이 안 좋다는 이유로 학부모로부터 '갤럭시를 쓰지 말라'는 강요를 받고...
-
수학능력시험을 앞둔 제자를 집으로 데려가 강제추행한 전직 교사가 징역형의 집행유예를...
-
얼버기 0
기상 성공
-
기상 1
아침롤 ㄷㄱㅈ~~
-
머스크, 한국인 테슬라 주식 보유 1위에 "똑똑한 사람들" 1
(샌프란시스코=연합뉴스) 김태종 특파원 = 일론 머스크 테슬라 최고경영자(CEO)는...
-
태어난게 실수인듯
-
세종 성추행 피해 초등생 아버지의 절규…"촉법소년이랍니다" 1
초등학생 피해자 동선 파악해 집 앞에서 기다렸다 범행 반복 피해 부모 엄벌 호소...
-
'스캠코인 의혹' 위너즈 측, 경찰 압수수색 불복해 준항고 1
"집행 절차 위반·범위 외 압수수색"…경찰 "적법하게 집행" (서울=연합뉴스)...
-
글좀써보쇼 6
너말이야 너
-
트럼프측, 바이든 회견에 대만족…"내쫓길 정도로 못하진 않아" 1
"선거에 남으면서 공화에 공격거리 제공…민주당의 최악의 악몽" (워싱턴=연합뉴스)...
-
진짜아무도없군 15
4시니까당연한건가... 시간감각이사라져서 지금 사람들 활동해야할거같음...
-
남자 여자 1대1비율입니다. 잘생긴 남자들만 모집해서 이미 마감했고 여자만 자리...
-
무잔이다!! 3
녀석은 목을 베어도 죽지 않아!!
-
천만 유튜버 쯔양도 먹잇감… 줄지 않는 ‘몰카범죄’ 1
쯔양, 전남친에 ‘유포 협박’당해 지속 폭행 피해·수익 40억 뺏겨 불법 촬영 범죄...
-
ㄹㅇ..
-
작수때 미적 응시자였는데 미적을 너무 못해서 수능때 수학만 나락가서 대학 못간...
-
질문받아요 14
빠른 조기입학 + 국제학교 중고 검정고시 -> 수능 응시 1학점듣고 반수중이에요
-
"쯔양 언니 힘내요" 보육원 아이들이 쓴 편지.."한달 살 돈" 매달 기부했던 그녀 [포착] 2
[파이낸셜뉴스] 구독자 1030만명을 보유한 먹방 유튜버 쯔양이 4년 동안 전...
-
22예비22 0
무턱대고 비율관계 X -> 비율관계를 어떻에 이용할 수 있을지 생각해보기 1....
-
부라 ㄹ 통이 가렵군
-
학교 째고 관리형 독서실 감(진짜임)
-
'정의' 내세우며 약점 협박·뒷거래…'사이버 레커' 이대로 괜찮나 2
"사이버 레커". 온라인상에서 특정 주제에 대해 자극적인 콘텐츠를 만들어내는...
-
달이 뜰 때 일어나 해가 뜨면 자고 재미도 없는 게임에다 돈을 쏟아붓고 불법 만화...
-
강대는 9모쳐서 어케비벼보고 시대 유시험이라도 응시해보고싶은데 문제는 올해3월자퇴라...
-
유튜브뭐냐 5
광고본지10초만에또광고가나온다고?
-
역시 애니는 10
새벽에 일어나서 보는 게 최고
-
미분 3
쌀가루
-
본인이 옳다고 생각하는대로 강의하는 거 당연하고 스타일 지적할 생각은 없는데 굳이...
-
질받 3
선넘 가능 신상은ㄴㄴ
-
5월 말부터 고3 맡아서 수학 과외중인데 진짜 너무 스트레스 받아서 고민중임 5등급...
-
중고등학생때 추억이... 그건 좀 슬프다...
-
3시차 지나갑니다~ 이거 듣고 자세요 다들.
-
왠 중년남성이 입었지?
-
차는 중고차가 ㄹㅇ 합리적이긴 한듯... 와 감가 진짜 심하네 ㄷㄷ
-
언매 확통 생윤사문으로 수능을본다해서 인서울한의대나 지방대가려면 어느정도 백분위를...
-
나의 사념이 이다지도 작음을 비로소 깨닫는다.
-
잠온다... 2
근데 자기싫다
-
갑자기 복소파동함수랑 물질의 이중성(?)을 지지고 볶아서 편미분방정식을 만들더니...
-
-도파-
-
다시 이악물고 핫팅..
ㅗㅜㅑ
개꿀 팁 사랑합니다
와 2분만에 첫플!
감사합니다 ^^
이거 삽자루센세가 기출이랑 해모 해설할때 쓰시던 것이네요 ㅎㅎ 유툽에서 보고 신기해서 배워뒀네요
2014학년도 수능 30번 문제 풀 때 진짜 쓸만하죠~
난만한씨의 곱함수의 그래프 개형이 기억나군요 ㅋㅋ
한완수 최신판도 본문처럼 설명되어 있나요?
2012년에 나온 한완수 가지고 있는데
거기서는 f(x), g(x) 각각의 특성을 조합하는 방식으로
그래프를 그렸던 것 같거든요. (좀 어렵...)
네 지금도 f(x),g(x) 로 각각 나누어서 각각의 특성을 이용하여 간단한 개형을 추론하는식으로 나와있을꺼에요 . 저는 도함수와 이계도함수를 이용하지않고 개형을 추론해보는것에 주목해서 생각난다고 말한듯 ㅎ
아~ 그렇군요.
좀 어렵긴 하지만 확장성 면에선 한완수에 기술된 방식이 더 좋죠.
본문의 방식은 x절편이 없으면 망이라... ^^;
t->inf t^2/e^t =0인건 어떻게..아나요??
1. ∞/∞꼴이고 분모·분자가 모두 미분가능하기 때문에 로피탈 정리를 2번 씁니다. 로피탈 정리 적용 결과가 수렴하기 때문에 문제 없습니다.
2. e^t을 테일러 급수로 전개합니다. 그럼 차수가 무한대인 다항식이기 때문에 위 극한이 0으로 수렴함을 알 수 있습니다.
3. 고등학교 과정 내에서 설명하려면 세 단계를 거쳐야 합니다.
(1) n → ∞일 때 e^n / n² →∞의 증명
e=1+h로 두면 이항정리에 의해 다음이 성립합니다.
e^n = (1+h)^n = nC0 + nC1·h + nC2·h² + nC3·h³ + ···
= 1 + n·h + { n(n-1)/2 }·h² + { n(n-1)(n-2)/6 }·h³ + ···
e^n / n² = 1/n² + ( 1/n )·h + { (n-1)/2n }·h² + { (n-1)(n-2)/6n }·h³ + ···
여기서 네 번째 항 때문에 n → ∞일 때 e^n / n² → ∞입니다.
(2) (1)로부터 n → ∞일 때 n² / e^n →0임을 알 수 있습니다.
(3) (2)로부터 x → ∞일 때 x² / e^x →0임을 알 수 있습니다.
ㅎㅎ 이항정리 방법일 것 같았습니다. 미2 내용만으로 설명할 수 있는 방법이 있나요ㅡ?
+1. 에서 로피탈..? 정리 적용 결과가 수렴하면 문제없나요?
이항정리로 보이는 방법 알고 계셨나요?
전 어떤 분이 이항정리로 증명하는 건 어떻겠냐고
아이디어 던져줘서 알아낸건데... ㅡㅡa
로피탈 정리에 대해선 다양하게 찾아봤는데
'로피탈 정리 적용 후에도 수렴해야 한다'라는 조건까지
붙이는 것이 가정을 제일 tight하게 적용하는 경우더라구요.
http://mathworld.wolfram.com/LHospitalsRule.html
이 이상의 제약 조건이나 반례는 아직 못찾았습니다.
이전에 학생들 가르칠 때, 어디 학원에서 배워왔다고 하더군요 ㅎㅎ
미적분내용이아니어서 그냥 넘겼었는데..
로피탈 정리 적용 결과가 0이 아닌 값에 수렴해도 되나요?
그랬군요 ^^;
로피탈 정리는 적용 후에 0이든, 0이 아니든
상수로 수렴하기만 하면 문제 없습니다.
lim_(x→∞) { (x+sinx) / x } 처럼
분모·분자 미분 후 발산하면 로피탈 정리를 적용할 수 없구요.
대칭성의 유무는 어떻게확인하나요..?
정의역의 임의의 원소 x에 대하여
(1) f(-x)=f(x)가 성립하면 y축에 대해 대칭 (우함수)
(2) f(-x)=-f(x)가 성립하면 원점에 대해 대칭 (기함수)
(3) f(a-x)=f(a+x)가 성립하면 직선 x=a에 대해 대칭
(4) f(a-x)=-f(a+x)가 성립하면 점 (a, 0)에 대해 대칭
등이 있습니다.
그래프 그릴 땐
(1), (2)에 해당되는지 판단하는 걸로 충분하구요.
헐 개꿀... 감사합니드..♡
저도 감사드리고,
꼭 써먹을 기회가 왔으면 좋겠네요~ ^^
이관데 박수칠 미적12둘다샀는데 미적1은 어느정도 깊이로 하면될까요 ?기본문제위주로하고 수능모위기출까지는풀지말까요?
최소로 잡아도 본교재에 실린 기출은 모두 보는 것이 좋다고 생각합니다.
직접 출제 범위는 아니지만 발상이나 해법이 미적분2와 연결되니까요.
최대로 잡으면 여기( http://orbi.kr/0005897498 )에 있는
부교재 연습문제까지 다 푸는 거구요.
아울러 정오표도 꼭 참고해주시구요.
교재 구입 감사드리고,
오류/오타 때문에 학습에 불편을 드려 죄송합니다.