수리고수님들 미분문제 하나 풀어주세요
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미분가능한 함수f(x)에 대하여
g(x)= (x=0이아닐때) f(x)/x and (x=0일때) f'(0) 라고 g(x)를 정의할때
'g(x)는 미분가능하다' 의 증명 부탁드립니다.
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x=0일때 g(x)에 미분은 상수의 미분이니까 0일테고
x=0이 아닐때 g(x)를 미분해보면 1 ~~~f `(x)/x - f(x)/x^2 가 되잖아영
여기서 보면 g(x)가 정의될때 f(x)/x가 정의되어 있다는 것은 x가 0으로 갈때 f(x)도 0으로
간다는 것입니다. 즉 x가 0으로 갈때 f(x)/x는 f `(x)가 되는거에여
이 식을 1~~~에 대입하면 서로 지워져서 0나옵니다
g `(x)의 값이 x=0에서 양옆으루 0으로 같으니까 미분가능한거겠졍
저기 첫줄 발상에서 틀리셨음;;
구간이아닌 x=a일때 값이 상수라고 그때 미분값이 0이라고 가정한다면
그럼 f(x)=x 인 함수에서 x=3때 f(x)=3이니 f'(3)=0이라고 할수없듯이
저 함수 g(x)의 x=0에서의 값이 상수라고해서 미분값이 0이라고 하면 틀립니다.
2번째줄부터의 내용도 틀리셨는데
밑에서2번째줄 1~~~의 식에
f'(x)=f(x)/x을 대입할수있다고 치더라도 0분의 0꼴이 나오므로 이걸 0이라고 확정지을수도 없구요...
이 문제에 g(x)가 미분 가능하다는 조건은 없나영?
g(x)의 미분가능을 물어보고있네요.
밑에 질문을 잘못적음; 근데 님이 설명하신거보면
g(x)의 미분가능을 묻는걸로 맞게 이해하고 푼거같은데..ㅋ
f(x) = x|x| 라고 둔다면, f(x)는 x=0에서 미분가능하지만, g(x)는 x=0에서 미분가능하지 않네요.
잘못얘기했네요 g(x)가 미분가능이요
저 유형이ㄱ,ㄴ,ㄷ 형식으로 출제됬던 문제를 흔히 볼수있었을텐데
왜 저것의 반례를 f(x)= x|x|로 들수있는지에 대한 설명이 없어서요.
f(x)가 x=0에서 미분가능한 것으로는 g(x)가 x=0에서 연속인 것밖에 보일 수 없습니다.
f(x) = x|x|는 x=0에서 미분가능하지만 g(x)는 x=0에서 연속이면서, 미분불가능이죠.
f(x)가 x=0에서 n+1번 미분가능하면, g(x)는 x=0에서 n번 미분가능할 겁니다.
음...따로 이래서 반례를 이걸로 든다 라고 유도할방법은없나보네요....
아 밑에 글 질문적었는데 질문 또 받아주세요ㅎㅎ
혹시 착각하신 것은 아닌지 해서 한번 더 말하자면, ㅇㅂㄱㅇ님이 쓰신 ".... g(x)는 미분가능하다"는 거짓명제이므로 증명이 불가능합니다.
"따로 이래서 반례를 이걸로 든다" 라고 유도해 드릴까요?
x가 0이 아닐 때는 몫의 미분법에 의해 g(x)가 미분가능합니다.
이제 x가 0일 때 미분가능한지 살펴보겠습니다. 미분계수의 정의에 의해,
g'(0)이 존재한다면 lim_(x->0) ( f(x)/x - f'(0) )/x = lim_(x->0) { f(x) - f'(0) x }/ ( x^2 ) 입니다.
x=0에서 f(x)가 미분가능하다는 것은, 일차함수 L(x)에 대하여 [ x가 0에 가까울수록 f(x) - L(x)가 x에 비해 아주 아주 작다]는 것과 동치이며, 이 때 L(x) = f(0) + f'(0) x 입니다. 이를 직관적으로 이야기하면 [ x가 아주 작을 때는 x가 작은 정도보다 f(x) - L(x)가 작은 정도가 더 크다]라고 할 수 있습니다.
한편 바로 위의 극한값이 존재한다는 것은, [x가 아주 작을 때는 f(x) - L(x)가 x^2와 크기 비교가 가능하거나, 아니면 x^2보다 아주 아주 작다]는 뜻입니다. 이는, [ x가 아주 작을 때는 x^2가 작은 정도와 f(x) - L(x)가 작은 정도는 비슷하다]는 뜻입니다.
그런데, x보다 작은 정도가 크다고 해서, x^2와 작은 정도가 비슷한 것은 아닙니다. 만약 f(x) - L(x)가 x^1.5와 작은 정도가 비슷하다면, f(x) - L(x)는 x보다 작은 정도가 크고, x^2보다 작은 정도가 작습니다. 그리고 이 때는 lim_(x->0) { f(x) - f'(0) x }/ ( x^2 )가 무한대가 됩니다. 따라서, g(x)는 x=0에서 미분가능하지 않습니다.
"작은 정도"는 "차수"와 비슷하지만, 작은 정도는 소수가 될 수 있으나 차수는 소수가 될 수 없다는 게 다른 점입니다. 다항함수에만 한해서 "작은 정도"를 직접적으로 출제한 기출 문제가 아마 2009학년도 수능 수리 가형에 있을 겁니다.
반례는 하늘에서 그냥 떨어지는 것이 아니라, 문제를 잘 살펴본 뒤 생각해 내는 것입니다. 문제를 살펴보고, 이런저런 조작해 보면서 감을 잡은 다음, 그 느낌을 토대로 만들어 내는 거죠. 다르게 말하면, 주어진 보기를 잘 이해할수록, 반례를 생각해내기 쉬워진다는 겁니다.