자작문젠데 오류검토좀 해주세요.. 올릴까 말까하다가 올렸는데 ㅠㅠ
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아이디어는 작년수능에서 따온건데
[f2x= 2fxf'x를 만족하고 fx=0이되는 x값이 존재하는 다항함수가 아닌 함수]
에 대해서 다음중 옳은것은?
ㄱ. f0=0
ㄴ. 일차변환 f'x f''x
fx f'x 에 의해서 타원 x^2/25 + y^2/9 = 1 이 옮겨지는 점들의 자취의 넓이는 16파이 이다
ㄷ. fnx를 다음과 같이 정의한다
[fnx를 n번 미분한 함수, 단 n=0,1,2,3, ...)
수열 {an}을 다음과 같이 정의한다
an=fne
4n+2
이때 무한 등비급수 lim n->∞ 시그마ak 는 발산한다
k=2
이 문젠데요..
ㄱ sin0=0
ㄴ. 회전변환이고 x가 모든실수이니까 타원이 제자리에서 뱅글뱅글 돌면 r=5인 원이되니까.. 넓이는 25파이(거짓)
ㄷ. sinx, cosx, -sinx, -cosx, sinx, cosx, -sinx, -cosx,....이니까 두번째항부터 시작해서 4의 배수+2번째 항까지 묶으면 합이 0이되니까 수렴..(거짓)
(사실 이건 4n이라 해도되는데 낚으려고 +2를 붙인..)
fx를 sinx로 보고 풀어야 풀리는데 제 친구가 fx가 1/2e^x 랑 2x도 가능하는걸 발견해서.. 조건을 추가했는데요.
fx=0이되는 x값이 존재한다고 적으면 1/2e^x는 안되게 할 수있는데, 단순한 다항함수인 2x가 안되게 하려면 어떤 조건을 추가해야될까요?
보시다시피 위에 적은 fx조건이 너무 난잡한것 같아서요..
또.. 저걸 만족하는, sinx가 아닌, 또 다른 함수가 있는지도 모르겠구요.. 군대가신 아이시떼루님은 저함수를 sinx로 보고 풀으셨는데 1/2e^x랑 2x도 되더라구요.. fx조건을 어떻게 설정하면되죠??
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ㄴ. 타원 돌리면 25-9파이=16파이 (참)
타원의 내부는 비엇습니당
타원 돌리면 장축의 길이 를 반지름으로 하는원이니까 25파이 아닌가요?
문제설정을 =1이 아니라 =<1이라고 하면 되나요 ㅎㅎ?
표현에 조심해주세요
≤1 이되면 타원이 아니고 타원과 타원내부가 되니깐요ㅎ
아. .그럼 보기에 ㄱ에는 영역, ㄴ에는 타원으로 해서 살짝 낚아도 괜찮겠군요.. 제가 만든문젠데 잘만들었나요 ㅠㅠ 현역의 한계>....
일단 f(2x) = 2 f(x) f '(x) 로 부터 함수 f(x)를 찾아내는 것 자체가 고교범위를 훨씬 넘습니다.
뿐만아니라 실제로 이 관계식을 만족하는 함수를 찾아보면 f(x) = sin x 이외에도 f(x) = ( e^x + e^{-x} ) / 2 도 조건을 만족하고,
sin 함수만 보더라도, f(x) = ( sin 2x ) / 2 같은 것도 관계식을 만족합니다.
아쉽지만 좋은 문제라고 보기는 어려울 듯 하군요.
f(2x) = 2 f(x) f '(x) 일때 f(x)를 구하는 건 미분방정식 인것 같은데요?
위엣분이 잘 말씀해주셨네요 f(x)를 만족하는 함수가 sin함수 말고도 coshx 나 2x 등 초월함수 다항함수 가리지 않고 만족하는 함수들이 나오네요
조건을 만족하는 그런 함수들에 대해서 n번 미분했을때 그 시그마 값을 구하는 구하는 건 으음...만만치 않아보이네요
질문자님처럼 f(x)에 바로 sinx를 대입하시는건 수능에서야 그렇게라도 풀면 되니까 괜찮지만 좋은 풀이는 아닌것 같네요
sinx라고 바로 대입할 수 있는 건 수학적 감각이 있으시다는 거지만요 ^_^
수정합니다 coshx가 아니라 sinhx네요
근데 이 미분방정식 풀 수 있나...?