수학적 귀납법에서 질문요.

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(i) n=1일때 명제 P(n)이 성립한다. (참)
(ii) n=k일때 명제 P(n)이 성립하면(가정했을때) n=k+1일때도 명제 P(n)이 성립한다. (참)

(i),(ii)에 의해서 모든 자연수 n에 대해서 명제 P(n)은 성립한다.

수학적 귀납법의 의미는 알겠는데 이것과 깊은 관련은 없지만

한가지 궁금한게 있습니다.

지식in을 돌아다니면서 질문하고 답변받다가

'n=k일때 명제 P(n)이 성립한다.' 와 '모든 자연수 n에 대해서 명제 P(n)은 성립한다.' 가 같다는 말을 몇번 들었는데 이 둘이 서로 같은가요?

('n=k일때 명제 P(n)이 성립한다.' 를 증명할 수 있다면 수학적 귀납법을 사용할 필요가 없다고 하더군요. 이게 불가능하기 때문에 귀납법을 사용한다고

하네요.)

전 'n=k일때 명제 P(n)이 성립한다.' 라는 문장이 참/거짓을 판단할 수 없는 조건인줄 알았는데 명제인가봐요?

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카롤링거 [355825]

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Yoonaul · 362874 · 11/03/20 19:52 · MS 2010

n=k 일때, P(n) 이 성립한다고 가정하고, n=k+1 일때에도 P(n)이 성립한다면, 그 명제를 참이라고 하지 않나요?

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카롤링거 · 355825 · 11/03/20 21:36 · MS 2010

네 그건 알고있어요. 그런데 제가 처음에 그것을 몰랐을때
가정한다는 의미를 모르고
'n=k 일때, P(n) 이 성립한다.' 를 증명하지 않고 어떻게 가정하냐고 했거든요.
그 과정에서
('n=k일때 명제 P(n)이 성립한다.' 를 증명할 수 있다면 수학적 귀납법을 사용할 필요가 없습니다.. 이게 불가능하기 때문에 귀납법을 사용합니다.)
라고 답변이 왔어요.
n=k 일때, P(n) 이 성립한다고 가정하고, n=k+1 일때에도 P(n)이 성립한다면, <---- 이게 명제인건 알고있음.
그런데 'n=k 일때, P(n) 이 성립한다.' 도 명제인지와 그게 '모든 자연수 n에 대해서 명제 P(n)은 성립한다.' 와 서로 정말로 같은지 궁금해서요.

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Yoonaul · 362874 · 11/03/21 00:53 · MS 2010

k가 임의의 자연수를 뜻하므로, 모든 자연수 n에 대해서 성립한다가 서로 같다가 되겠죠..

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카롤링거 · 355825 · 11/03/21 12:58 · MS 2010

뭐...수학적 귀납법과는 별 상관없는 쓸데없는 질문이었지만 답변해주셔서 고맙습니다.

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inthecastle · 354765 · 11/03/31 14:47 · MS 2010

K가 임의의 자연수를 뜻하므로

참거짓을 분별할수있는 명제라고 봐야죠 .

x= k 일때 x^2 - x -2 = 0 이 성립한다. (k는 임의의실수)

틀린명제죠.

x는 4의 약수이다 . 이거는 조건이지만

x가 임의의 자연수일때 x는 4의 약수이다 . 이건 조건으로 이루어진 명제죠.

가정과 결론으로 나눌수있네요 .

n이 임의의 자연수 일때 P(n)이 성립한다.

저도 의문이 생기네요 . 가정도 가정결론으로 나눌수있다라

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