이 행렬문제에서 역행렬이 존재한다는걸 나타낼 수 있을까요?
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영행렬이 아닌 이차정사각행렬 A가 임의의 자연수 n에 대하여
An+1=An+2+An
을 만족할 때, A2009을 간단히 하면?
그냥 수치대입법해서 순환하는 규칙을 찾아내서 풀면 장땡이긴 한데,
역행렬이 만약 존재한다면 A=kE인 경우랑 아닌경우를 나눠서 케일리-해밀턴의 정리에 역을 사용해서
단위행렬이 A에관한 식이 나와서 이걸로도 풀 수 있을 것 같은데 역행렬 존재를 저기서 알아낼 수 있나요?
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그리고 저기 행렬이 위첨자인데 아래첨자로 되있내요. n+1제곱 이런식이에요./
귀류법
음... 저는 어떻게 했냐면요
A^n+2=A^n+1-A^n 으로 일반적으로 잡아서 캐플러가 수열의 법칙을 증명할 때 처럼
A^3=A^2-A
A^4=A^3-A^2
:
:
A^2009=A^2008-A^2007 이렇게 나열해서 다 더했어요
그러니까 A^2009 = -A 나오는것 같던데 ;
제가 수학이 허졉이라 틀렸다면 죄송해요 ㅠ
그렇게 푸는게 정석이긴 한 것 같은데 다른풀이도 있나 해서 찾아보니까
만약에 A에 역행렬이 있다면 저렇게도 풀 수가 있더라고요
그런데 A에 역행렬이 존재한다는걸 저 수식을 통해서 증명할수가 있을지 궁금해서 올려봤어요 ㅎㅎ
계산을 한번 더 해 보셔야될듯. 답은 -A제곱이에요 ㅎㅎ
문제잘못읽으신듯ㅋㅋ