일대일 함수
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모든 실수를 정의역으로 하는 일대일 함수 중에
일대일 대응이 아닌 개형이 존재할 수 있나요?
일대일 함수랑 일대일 대응을 구별해야 한다는데
좀 무의미한 것 아닌가 싶어서요.
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집합 그려놓고 A -> B 이럴 때 생각하면 돼요.
y=e^x같은 경우 치역이 양의 실수 전체이지만 공역도 그냥 양의 실수 전체로 보는 것 같음. 자동으로 공역과 치역이 같게
일대일 함수이면서 일대일 대응이 아닌 함수는 애초에 [정의역이 자연수이고 공역이 실수인 함수]처럼 범위가 다르거나, [정의역=1,2,3 공역=4,5,6,7인 함수]처럼 개수가 다를 때만 가능한 거겠죠?
전자에 관해서는 잘 모르겠네요 ㅋㅋ
ㅠㅠ 궁금하당
아 질문의 시작이 여기였네요
양쪽 다 유한집합인데 갯수가 다르면 일대일대응이 될 수 없습니다.
한 쪽은 무한, 다른 한 쪽은 유한인 경우도 마찬가지로 일대일대응을 못 만듭니다.
근데 양 쪽 다 무한인 경우 범위가 달라도 일대일 대응 함수를 만들 수 있어요. 자세하게 쓰기는 길어서 좀 힘들지만, 정수 집합에서 유리수 집합으로 가는 일대일 대응 함수를 만들 수 있습니다. 또 (-1, 1)에서 실수 전체의 집합으로 가는 일대일 대응 함수도 만들 수 있구요. (이과시라면 y=arctan x의 그래프를 찾아보시면 됩니다) 여러모로 무한집합의 경우 논의가 좀 힘듭니다.
헉!! 너무 고맙습니다 ㅠㅠ
혹시 수험생이세요?? 엄청 잘 아시네요
수험생 아니에요 ㅋㅋ 수학좋아해서 수학 게시글만 찾아다니는중
정의역이 모든실수면 따질것도없죠
일대일 함수에서 일대일 대응으로 넘어갈 때의 조건이 치역=공역인데, 교육과정 내의 문제에서는 공역을 명시하는 경우가 드물긴 하죠
개형에 따라서 두 조건이 구분된다기 보다는, 어떤 개형을 일대일 함수에서 일대일 대응으로 넘기기 위해서는 공역의 범위를 조절할 필요가 있다고 생각하는게 더 좋을 것 같아요. 개형갖고 구분할 만한 개념은 아닙니다
오오 감사합니당.
그럼 혹시
X = 모든 자연수
Y = 모든 실수
X에서 Y로의 함수 f : X-->Y는 일대일 함수지만 일대일 대응은 아닌 함수로 볼 수 있는 거지요?
일대일 함수는 정의역과 공역 만으로 결정되는 개념이 아닙니다. 주어진 X, Y에서 f(x)=0으로 잡아버리면 분명 함수는 맞지만 일대일 함수가 아니겠죠.
만약 주어진 X, Y에서 일대일 함수를 잡았다면 실수의 uncountability에 의해서 일대일 대응이 될 수 없기는 합니다..만 교과과정을 벗어나버리네요.
예를 들면 f(x)=2x로 잡으면 당연히 일대일 함수이지만 Y의 원소인 1로 가는 X의 원소가 없으니 일대일 대응은 아니죠. 하지만 이때 공역을 Y 대신 Y의 부분집합 Z={2n | n은 자연수}로 갈아치워서 똑같은 함수 f : X-->Z를 생각해본다면, 얘는 일대일 대응까지 성립합니다. 따라서 역함수 f^(-1) : Z-->X 도 존재하겠죠. 여기서 관찰해야할 점은, 사실 제가 새로 잡은 Z는 원래 함수 f : X-->Y 의 치역이라는 점입니다.
위에 실수에서 실수로 가는 일대일 함수 y=e^x 같은 경우도 우선 이 함수의 치역을 찾고 그 치역을 공역 대신 사용하면 역함수를 찾을 수 있습니다. 말이 길어져버렸네요 ㅋㅋㅋ