이 명제 대우 어떻게 취하나요?
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ㅇ
이건 아닌 거 같은데..
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이건 조건문이 아니라 그냥 명제라서 대우라는게 의미가 없어요. p=>q 꼴이 아니잖아요.p=>q라는게 (not p) or q 이긴 하지만 애초에 문제에 있는건 두 명제의 합성(?)이 아니라 하나의 명제니....
애초에 p->q ≡ ~p∧q 부터가 교육과정 밖 아닌가요?
그건 설명을 위한 거고, 애초에 p이면 q이다 같은 꼴이 저 명제에서 나타나지 않으니까요. 그리고 명제에서 진리표를 안배우나요? 오래돼서 기억이 잘 안나네요 ㅠ 저건 진리표만 배우면 할 수 있긴 한데...
아 진리표 ㅋㅋㅋㅋㅋ 진리표를 까먹고 있었... 근데 진리표도 교육과정 밖이긴 해요
하긴 저도 기가시간에 배운 듯....
p : x가 P의 원소이다.
q : x가 Q의 원소가 아니다.
p->q 아니에여??
그 명제는, 모든 P의 원소 x에 대해 x는 Q의 원소가 아니라는 거니까요 ㅎ
1.
"어떤 x에 대하여 x ∈ P이면 x not ∈ Q이다"에서
"어떤 x에 대해 x ∈ P이면"은 조건입니다.
2.
"어떤 x∈ P인 x에 대하여 x not∈Q이다"에서
"어떤 x∈ P인 x"는 전제입니다.
즉, "어떤 x에 대하여 x∈ P임"이 전제되어 있는 것입니다.
이 전제를 만족하는 x 중 어떤 x가 x not∈ Q라는 것입니다.
3.
따라서 1의 경우 x∈ P라면(x∈ P인 x가 존재한다면) x not ∈ Q가 되지만,
2의 경우는 (x∈ P인)"어떤 x"이 Q에 속하지 않는다는 것입니다.
1의 경우는 x∈ P일 때 무조건 Q에 속하지 않지만
2의 경우는 x∈ P이면서 Q에도 속하는 x 또한 존재할 수 있습니다. x∈ P이면서 Q에 속하지 않는 "어떤" x가 제시되었을 뿐입니다.
4.
다시 말하자면,
1의 경우 x∈ P인 x은 x not∈ Q가 됩니다. (x∈ P인 x가 존재한다면 반드시)
2의 경우 x∈ P인 "어떤" x이 x not∈ Q가 됩니다.
5. 논리기호로 바꿔보자면
1은 어떤 x∈ P -> x not∈ Q
2는 thdrhwk님이 말씀하신 대로
x∈ P이고 x not∈Q인 x가 되겠네요..
thdrhwk님이 잘 설명해주셨는데 괜히 혼자 헛다리짚다가 다른 분들까지 헷갈리게 만든 듯.. 죄송합니다. (3,4는 약간 주관적 설명이니 씹으셔도 좋...)
대우가 만들어지려면 "어떤 x에 대하여 x가 p의 원소이면 x는 Q의 원소가 아니다" -> 모든 x에 대하여 x가 Q의 원소이면 x는 p의 원소가 아니다" 아닐까요
두 명제가 달라요. 문제에서 말하는건 exists x, x \in P, x not \in Q 이거고, 님이 말한 건, for all x \in P, x not \in Q여서 완전히 다른 명제입니다.
\in은 삼지창 대신...
그러면 데이토나님이 말씀하신 경우에서
어떤 x에 대하여 x가 p의 원소이면 x는 q의 원소가 아니다
-> "어떤" x에 대하여 x가 q의 원소이면 x는 p의 원소가 아니다인가요?
아 헷갈려 ㅜㅜ
아니에요 ㅎㅎ "어떤"을 "존재한다"로 고쳐서 생각해보세요.
위에껀 P의 원소이면서 Q의 원소가 아닌 x가 존재한다는거고,
밑에껀 Q 원소이면서 P의 원소가 아닌 x가 존재한다능 거에요.
벤다이어그램 그려보면 P Q가 완전히 반대에요.
사실 아직까지도 데이토나님이 말씀하신게 왜 틀린지 모르겠... 좀더 설명해주실 수 있으신가요 ㅜㅜ 집합론 다까먹었는디 복습해야겠다..
그러니까 데이토나씨 화살표 앞에 있는 명제는P교집합(Q 여집합)의 원소가 존재한다는 거구요, 화살표 뒤 명제는, P교집합Q가 공집합이라는 거에요. P={1}, Q={1,2}면 두개가 다르죠.
아 그렇군요... ~(∃ x ∈ P)∧(x not ∈ Q)의 부정이니까 그러면 (∃ x ∈ P)∨(x ∈ Q) -> "어떤 x에 대하여 x∈P이고 x∈Q이다."가 되려냐욤
아 이건 부정이구나 ㅅㅂ
원래 명제는, ∃ x, (x ∈ P)∧(x not ∈ Q)이고, 그 부정은 단순히 (x ∈ P)∧(x not ∈ Q) 인 x가 존재하지 않는다는 거죠.
exist가 괄호 바깥에 있어야해요.
원 명제를 (∃ x ∈ P) -> (∃x not ∈ Q)라고 할 때
원 명제는 ~(∃ x ∈ P) ∨ (∃x not ∈ Q), 즉 (∃x not ∈ Q) ∨ ~(∃ x ∈ P)와 동치이고 (=어떤 x에 대해 x not∈ Q거나 모든 x에 대해 x not∈ P이다.)
{~(∃x∈ P)∨(∃x not ∈ Q)} ≡ {~(∃x not ∈ Q)->~(∃ x ∈ P)}
F T T T F T T F
F T F F T F F F
T F T T F T T T
T F T F T F T T
따라서 둘 역시 동치
그러므로 대우로 ~(∃x not ∈ Q)->~(∃ x ∈ P) 성립
∴ ∀x ∈ Q -> ∀x not∈ P, 모든 x가 x∈ Q이면 어떤 x는 x not∈ P이다.
...라고 써놓고 보니,
"어떤 x에 대하여 x ∈ P이면 x not ∈ Q이다."와
"어떤 x∈ P인 x에 대하여 x not∈Q이다"는 애초에 다른 명제네요 ㅂㄷㅂㄷ
전자는 P∩Q=ø이고 후자는 P∩(Qc)≠ø이니까... ㅂㄷㅂㄷㅂㄷㅂㄷㅂㄷㅂㄷㅂㄷㅂㄷㅂㄷㅂㄷ
나 지금까지 뭔 뻘짓을 한 거야... 지금까지 저는 전자로 말하고 thdrhwrk님은 후자로 말씀하신 듯. 저는 데이토나님의 댓글을 기준으로 생각해서 전자로 생각한 건데 꼬였네요 ㅂㄷㅂㄷ
위에 부정이 어쩌구 한 것도 전자를 기준으로 했을 때 (and와 or을 뒤바꿔서 잘못 생각하고 헛소리 한 거지만 ㅂㄷ) 생각한 건데 thdrh님은 후자로 생각하신 거고..
후자가 ∀ x ∈ Q, not ∈ P 아닌가요?
전자가 ∃ x ∈ P, not ∈ Q고... 데이토나님이 말씀하신 경우가 맞는거 같은데 ㅜㅜ
ㅠ 그건 제가 술먹고 잘못단듯여....... ㅈㅅ
사실 제가 지금 달고 있는 것들도 술먹고 단거니 개떡같이 말해도 찰떡같이 알아 들으세요.....ㅎ