수학 천재님들 저좀 도와주셈
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도함수가 연속이면 원함수는 미분가능하다.
이 명제가 왜 틀리죠?ㅠㅠ
지금까지 본 함수들은 다 됬는데
반례가 있는지도 의문이지만 반례증명은 하지말아주세요
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ㅠㅠㅠㅠ세종 ㅈ같네
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되는것도 있고 안되는것도 있어서 반례말고 증명이 안되지 않음??? y=|x| 이런 뾰족한것들 연속이지만 안댐
y=lxl 도함수 불연속...
아 도함수...ㅈㅅ
도함수가 연속이지만 미분계수가 정의되지 않는 점이 있는 꽤 유명한 함수가 있긴 하지
만
고교과정 내에서는 크게 신경쓰지 않으셔도 될거같아요
학원쌤이 증명이 된다는데요??
+그 반례좀 알려주셍
f(x) = x^2sin(1/x) (x=/=0)
0 (x=0)
이 있겠네요 이질문에서 가장 많이 나오는 함수입니다
ㅈㅅ 정의되지 않는게 아니라 불연속인점이네여
그 함수는 알고있었음 ㅋㅋ
죄송해여 글을 잘못봤어여
ㄱㅊㄱㅊ
대우) 원함수가 미분불가능하면 도함수가 연속이 아니다.
원래 거짓증명할때 반례하나들고 증명끝내는데
반례가 님힌테 뭘잘못했나요
공부할때는 반례증명은 원래 하는게 아니죠ㅋㅋ
시험장에서 처음보는 문제를 증명하는데 반례가 바로 떠오르기가 더 힘듭니다
반례 말고 어떻게 틀렸음을 증명하나요?
이문제에서는 제가 잘못 판단했네요 죄송합니다
하지만 틀린걸 증명하는 방법은 간단하고 생각하기도 쉽습니다
미적분 합답형에서 자주 나오는 부등식의 증명은 한쪽으로 넘겨서 새로운 함수를 설정할수도 있고
귀류법을 이용할수도 있겠네요
부등식이 아닌 미적분에서의 증명은 보통 미분계수의 정의와 평균값의 정리를 이용하겠네요
그런 거 말구요. 애초에 그런 증명 방법들로 증명할 수 있는 명제들은 참을 증명하는 거나 다름이 없잖아요. 루트2가 유리수가 거짓임을 증명하는 건 그냥 루트2가 무리수 임을 증명하는 거죠. 그런 것들은 굉장히 특수한 경우고, 대부분의 명제가 거짓임을 증명하는 건 반례 말곤 불가능해요. 당장 예시로 들어봐도 행렬에서 AB = BA 가 참이 아닌거, 어떤 함수가 연속이면 미분 가능하다는 명제가 거짓인거, 모든 제곱수는 3의 배수라는 게 거짓인 것. 좀 더 극단적으로 예를 들면 x = 0이라는 방정식의 해가 모든 실수가 아니라는 것. 이런 명제들을 반례말고 어떤 방법으로 증명하나요?
우선 행렬 증명은 제가 할말이 없습니다 물론 이것도 특수한 경우라고 생각할 수 있죠
연속이지만 미분불가능한 함수는 연속의 조건과 미분가능성의 조건만으로도 따져볼 수 있습니다
제곱수가 3의 배수가 아니라는건 어떤 자연수를 3으로 나눈나머지가 0,1,2 임을 이용해3k 3k+1 3k+2 로 일반화해서 직접 제곱해 증명할 수 있겠고요
x=0 의 해가 모든 실수가 아니라는걸 증명하는게 어떤 의미인지요 제 수준에서는 답하기 조금 힘들것 같습니다 너무 멀리 가는게 아닌가 싶기도 하고요
제가 생각하기에는 수능에서는 자명한건 그낭 증명을 할 필요가 없다 수준이고 증명은 꼭 필요할때 제대로 할 수 있으면 된다는 겁니다
라
제가 예시로 든 것들도 지독히 수능냄새가 나기는 하죠
미분 계수가 존재한다는 것을 주어진 조건으로 이끌어 낼수 없다는 이유로 미분 불가능 하다고 판단 할 수는 없죠, 그건 그저 추측일 뿐이죠. 3k, 3k+1, 3k+2로 나눠서 푸는 것도결국 1이 3의 배수가 아니라는 반례를 사용해서 증명한 거죠. 믈론 님 주장이 어떤 뜻인지 알고 있습니다만, 제 주장은 너무 당연한 것들을 증명할 필요가 있다는게 아니라, tautology를 제외한 모든 증명은 그 근원을 찾아가면 결국 반례를 제시하는 것으로 귀결될 수 밖에 없다는 의미입니다. 그래서 질문자의, 반례 증명을 하지 말고 반증해달라는 건 말이 안된다는 소리를 하고 싶었던 것이구요.
워... 이정도로 자세하게 하실줄은 몰랐네요
제가 항진명제라는걸 처음 들어봐서 검색해가면서까지 들여다봤네요
반례를 든다는게 그에 해당하는 어떤 예시를 직접 드는거에서 나아가는 설명을 하셔서 좀 놀랐습니다 제가 아직 고등학교 과정을 공부하고 있기도 하고요
마지막에 명쾌하게 말씀해주신 덕분에 이해가 잘 됐습니다만 하나 질문을 드리자면
3의 배수에 1을 더하면 3의 배수가 아니다 라는것도 반례를 통한 증명이 되는 건가요? 저는 당연히 참이라고 생각해서(항진명제를 검색해본 결과로) 일반화해서 증명을 한건데 말이죠
결국에 물어본 건 1이 3의 배수냐 아니냐는걸 물어보는 거죠. 그런데 "1이 3의 배수이거나, 3의 배수가 아니다"는 토톨로지니까, 1이 3의 배수임을 반증하는 것은 결국 1이 3의 배수가 아님을 증명하는 것과 같습니다. 그런데 1 = 3 * 0 + 1 (항등원 등식의 성질만을 이용해서 증명 가능)이므로, 나머지 정리에 의해 1을 3으로 나눈 나머지는 유일한데, 0이 아니므로 3의 배수가 아니죠.(사실 이렇게 까지 해야하는 지는 잘 모르겠습니다....) 어쨌든 1이 3의 배수가 아니라는 명제는 증명 가능하고, 1은 3의 배수이거나 3의 배수가 아니라는 토톨로지를 통해 1이 3의 배수가 거짓임은 밝힐 수 있을 것 같습니다.
요약하면 애초에 3k + 1은 3의 배수가 아니라는 명제는 참이라서 증명 가능하고, 위의 댓글이 실제로 증명한거고,
3k + 1이 3의 배수라는 명제가 거짓인 것은, "3k + 1이 3의 배수이거나, 3의 배수가 아니다"가 항상 참임을 이용해서 반례를 사용하지 않고 증명할 수 있다는 뜻이에요.
공부할때 반례증명하는거아니라고요?..떠오르기가힘들다니... 지금 수학과에서 반례증명하는 교수님 조교님 우롱하시는건가요 ㅎㅎ
님이생각하는 반례증명이 아닌것처럼 보이는 증명도 알고보면 반례의 집합을 구하는거일때도있구요..
근데 공부할때 반례증명 원래 하는거 아니라는거는 누가정해준거임? 공부의신이 정해주나요?
그게 사실 반례로 증명하는거라면 뭐라 드릴 말씀이 없네요 죄송합니다
저는 수능을 기준으로 얘기하려고 한건데 그런 얘기가 없어서 오해의 소지가 있었나봅니다 근데 글이 너무 공격적이시네여
반례증명 원래 하는거 아니라고 가르쳐주시길래 ㅎㅎ
제가 수능 문제 풀면서 반례증명을 안하도록 배워서 그랬나봐여
공격적인건 죄송합니다 저도 수학과라서..항상 반례찾던 제 과거가 틀린거라고 하시는거같아서 그런말투가나왔네요 죄송
아아 수학과셨구나 제가 모르던 부분이었어여
모르는 사이에 이런 열띤 토론이... ㅎㄷㄷ
어어어 죄송해요 글을 잘못본거같습니다
도함수가 연속이면 당연히 미분가능하고
제가 댓글에 쓴건 미분은 가능한데 도함수가 연속이 아닌 얘기네요 ㅈㅅㅈㅅㅈㅅㅈㅅㅈㅅ 글도 잘못썼네여
도함수가 연속이면 미분 가능한데.... 그리고 대부분(이라기 보다는 거의 다) 틀렸음을 증명하는 건 반롄데...
그 반례가 뭐에요 그니깐
참이라구요. 반례 없다구요.
물론 y=|x|라 해놓고 그 도함수는 (-inf, 0) 합집합 (0, inf)에서 연속이니까 틀린 명제다 이렇게 주장하면 할 말이 없지만 애초에 제가 든 예시에서 도함수가 연속인건 고등과정 밖이구요, 적어도 f와 f'의 domain이 같다는 전제하에서는 저 명제가 잘못된 명제일 리가 없습니다.
그럼 저희 수학학원쌤이 거짓정보를 흘렸나 보군요 호호 반례도 고교과정 내라고 하던데..
뭐 알겠습니다.
아니 저 명제는 애초에 증명이 가능하잖아요. 도함수가 연속이라는 건 도함수의 값, 즉 미분계수가 존재하는 거고, 미분계수가 존재하면 정의상 미분가능한데 반례를 찾고 말고 할게 어디있나요. 학원선생이 잘못 말했거나 님이 잘못들었겠죠.
이분 말이 정답.
도함수가 존재하면 당연히 미분가능.
미분계수를 함수화한게 도함수인데 도함수값이 존재하는데 어떻게 ㅁ분불가능이가능해요 ㅎ