통계학과 다니시는분이나 통계의 신님 계신가요?
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모평균의 추정은요..
모집단에서 추출한 표본집단의 평균인 표본평균을 이용해 모평균을 추정하는 거잖아요?
표본집단은 표본평균(X바)를 중심으로 하는, N(X바, S^2)의 정규분포를 따릅니다.
그렇다면, 정규분포 위의 임의의 한 점은 X바+kS의 꼴로 나타낼 수 있잖아요.. (사진참고)
그럼 모평균을 추정할 때, 신뢰구간 X바-A<=m<=X바+A에서 A는 k시그마/루트N이 아니라 kS가 되어야하는거 아닌가요? (사진참고)
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정승제T 개때잡수강중인데 이부분 너무 얼렁뚱땅 지나가시네요..하ㅠㅠ
데일리 국문법 문제 올려줘요
나 좀 풀게
애초에 X바의 표준편차가 루트n분의시그마고 님이쓰신건 X바의 정규분포가아니라 X의 정규분포아닌가요
넹.
표본평균의 정규분포 아님니당
표본집단의 정규분포에용
표본은 정규 분포를 따르지 않습니다. 표본 평균이 근사적으로, 평균이 모평균이고, 분산이 모분산/표본크기인 정규분포를 따를 뿐입니다. 표본의 분포로 모평균을 추정하는 것이 아니라, 표본평균의 분포로 모평균을 추정합니다.
아..저도잘모르고있었네요 깝쳐서죄송
표본평균 딱 한 개만을 가지고 모평균을 추정해야 하는데, 표본평균의 분포를 가지고 모평균을 추정한다면 모순 아니에요..?ㅠㅠ
크기가 n인 표본을 무한히 많이 뽑는다면, 표본 평균의 분포가 정규분포를 따른다는 걸 이미 알고 있습니다(= 수학적으로 증명되어 있습니다. 중심극한정리). 우리는 그 사실을 활용해서 통계적인 추정을 하는 것입니다.
예를 들면 이런거죠. 어떤 확률변수가 평균이 모평균이고 분산이 굉장히 작은 정규분포를 따른다는 사실을 알고 있다고해요(중심극한정리). 다만 모평균을 모르는게 문제지만. 근데 어쨌든 하나를 딱 뽑으니 2.13이 나왔어요. 그럼 분산이 굉장히 작으니, 모평균이 거의 2.13 주위에 있다고 추정할 수 있겠죠? 이해 안되면 교과서 읽어보세요.
산업공학도 입니다. 저도 고딩때 몰랐었는데 대학교에 와서 2학년 1학기때 t분포를 배우게 되는데 그때 왜 s를 안 쓰고 시그마를 써도 되는지 알게됩니다. 표본의 크기가 t분포 일때 30보다 크면 정규분포와 매우 흡사해지는데 수능에선 표본이 다 30보다 크게 문제로 주어지기 때문에 그냥 받아들이시는게 좋습니다
왜 시그마를 안쓰고 s를 써도 되는지 아닌가요?? 통계학과에 오시면 왜 n이 무한대로 갈 때, t분포가 정규분포로 분포수렴하는지 배우게 됩니다...ㅠ
원래 s를 써야하는데 수능문제에서는 시그마만 주어지는 경우에 s대신 시그마로 풀어도 되는 이유를 말씀드린겁니다!
원래 시그마를 써야 정규 분포를 따르는게 중심극한정리인데, 우리가 시그마를 모르니 s를 쓰는거고, 시그마가 아닌 s를 쓰면 정규분포가 아닌 t분포를 따르는데, n-> inf로 가면 t분포가 정규분포에 분포수렴을 하기 때문에, n이 크면 시그마가 아니라 s를 써도 근사적으로 정규분포를 따른다고 해도 된다 이런 논리입니다
그러네요 대체해도 된다고 쓰려했는데 오개념을 썼네요 수정해주셔서 감사합니다.
상세한 답변 감사합니다..!
근데 제 질문은 S를 안쓰고 시그마를 쓰는지가 궁금한게 아니였어요ㅠㅠ
왜 표본표준편차를 사용하는게아니고 표본평균의표준편차를 사용해야하는지가 궁금해서요!
통게의 신도 아니도 통계학과도 아니지만 댓글을 남깁니다.
(1) 표본 평균의 기대값은 모평균과 같습니다. 표본 평균의 분산은 모분산을 n으로 나눈값과 같습니다. 한편 표본분산의 기대값은 모분산과 같습니다.
이것은 모집단이 꼭 정규분포를 따르지 않아도 (구할 수 있다면) 항상 성립합니다.
(2) 중심극한정리에 따라 Z=(표본평균-모평균)/(모표준편차)/sqrt(n) 는
평균이 0이고 표준편차가 1인 정규분포를 따릅니다.
(3) 정규분포를 따르는 모집단에서 추출한 표본에 대하여
표본평균의 분포는 평균이 모평균과 같고 표준편차가 모표준편차/sqrt(n)인 정규분포를 따릅니다.
(4) 정규분포를 따르는 모집단에서 추출한 표본에 대하여
(표본평균-모평균)/(표본의 표준편차)/sqrt(n)는 자유도가 n-1인 t분포를 따릅니다. n이 큰 값을 가지면 t분포와 표준정규분포의 값이 유사해지기 때문에 고등학교 교과과정에서는 t분포 대신 정규분포를 사용하고 있는듯 합니다.
모평균의 신뢰구간을 구하는것이 목표인데 모분산이 알려진 경우는 모분산과정규분포를 사용하여 모평균의 신뢰구간을 추정하고
모분산이 알려지지 않은경우(표본표준편차만 아는경우)는 표본표준편차와 t분포를 사용하여 모평균의 신뢰구간을 추정합니다.
고교과정에서는 모분산이 알려지지 않은경우에도 정규분포를 사용하기 때문에 혼동이 있는것 같습니다.
역시 통잘알.... 하나만 첨언하면 (2)에서 정규분포를 따르진 않고 근사적으로 따르는 게 CLT입니다. 근사적으로 따른다는 건 정확하개 이야기 하면 n->inf 일때 cdf가 연속인 모든점에서 정규분포의 cdf와 함수값이 같다는 뜻이구요 ㅎㅎ
thdrhwk님이 맞습니다.
제가 (2)를 너무 단정적으로 적었는데 근사적으로 따른다고 합니다.
처음에는 통계적 추정이 굉장히 뜬구름잡는 이야기라고 생각했는데.. 수학자들이 생각보다(?) 엄밀한 방법으로 증명을 해둔것 같습니다.
엄밀하죠...ㅎ (1)~(4) 전부 CLT, WLLN, 슬러츠키 정리, 확률수렴과 분포수렴의 정의를 통해 증명할 수 있습니다 ㅎ 다만 문제는 CLT가 학부 수준에서 엄밀하게 증명이 안된다는....
와.. 멋지셔요..
혹시 sqrt(n)이 뭔가요??
루트n이라는 듯입니다.
고맙습니다.
이렇게 성의있고 깊이있게 답해주신분이 처음이에요ㅜ.ㅜ
인강사이트에 질문을해도 표본평균의 표준편차랑 표본표준편차랑 헷갈리지말아라.. 이런답변밖에 못받아봤는데ㅜㅜ
감사합니다!!