왜 닫힌구간에서 연속인가요?

Question

연속이라함은 함숫값과 극한값이 같을때 성립되는건데극한값은 우극한과 좌극한이 같아야 생기는 것이라 알고있습니다닫힌구간의 각각 양 끝점은 좌극한이나 우극한이 없어서 극한값이 없다고봐야하는것 아닌가요?만약 연속이 가능하다면 미분가능성또한 닫힌구간이 되야하지않을까요?얼마전에 공부시작해서 아는게 없어서 이런 기초적질문을던지네요 ㅠㅠ

쌈빤쓰쌩 · Accepted Answer

닫힌 구간에서 연속이라는 뜻은 그 구간안에서만 끊어짐이 없이 이어져있는 함수라고 하는말입니다 그리고 함수가 닫힌구간에서 연속이라고 문제에 있다면 미분한 함수도 닫힌구간에서만 나오겠죠? 질문취지에 맞는 답변인지 모르겠지만 ...;;

손가락 · Answer

연속은 닫힌구간에서 한 쪽 끝 극한값과 함숫값만으로 정의해도 의미가 성립하지만
미분가능성은 좌미분계수와 우미분계수가 같지 않으면 평균변화율의 극한값이라는 의미가 성립하지 않기에 개구간에서 정의하는 것 같습니다. 구간에서 정의된 함수의 경계에서 미분가능성을 조사할 때를 생각해보면
왼쪽함수랑 오른쪽함수가 각각 닫힌구간에서 미분가능하다고 정의되어 있다면 경계에서의 미분가능성을 조사할 필요가 없을텐데 뭔가 모순이 생기죠.
제 의견입니다

백효월 · Answer

연속함수에서 최대 최소 정리 쪽 개념이 포함되어 있네요 [a,b]에선 x=a에서 좌극한이 정의 되지 않습니다. 마찬가지로 x=b에서 우극한이 정의 되지 않습니다 그러므로 (a,b)에서 연속이고 좌 우 극한과 함수값이 같을때 [a,b]에서 연속이라 정의할 수 있습니다. 다르게 말하면 [a,b]에서 연속이라는 것은 a,b 사이의 모든 실수에서 좌,우 극한과 함수값을 구할수 있다는 의미입니다. 또한 열린구간일때도 주변 함수값이 정의되어 있으며 그것을 토대로 연속이면 -> 닫힌 구간 또한 연속 필요조건 인것이죠 그래서 대부분에 문제에서 닫힌 구간에서 연속이고, 열린 구간에서 미분 가능할때 라고 언급되는 것 입니다.

왜 닫힌구간에서 연속인가요?

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