이 글을 보시는 분들께 수학 질문이요~
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제가 독학생은 아니다만
수학 질문을 어디에 해야할지 몰라서....
이비에스에 올리니 아직 답변이 없으시더라구요...
ㄱ은 알겠는데
ㄴ이 왜 맞는지
ㄷ이 왜 틀렸는지 모르겠어요....ㅜㅜ
답은 ㄱ, ㄴ 3번이에요...
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결과적으론 맞는데
"(A^2-E)(A^4+A^2+E)=0이 나오는데 A^2가 E가 될수 없으므로 A^4+A^2+E가 0이 됩니다" 라고 일반적으로 주장하기 힘듭니다.
물론, 제가 전에 올린 다항식연산과의 비교를 생각하면 되는데, 사실 그것은 고교수준은 넘습니다.
이 문제의 의도는, A^2+A+E=O 에서 A^4+A^2+E=(A^2+A+E)(A^2-A-E)를 발견하는 것이고, 이것은 고1 수학의 인수분해와 연관이 있죠.
ㄷ은 왜 안되는지 보다 반례를 찾아보세요. 안된다 라는 느낌은 행렬을 좀 공부해야만 알 수 있습니다.
A^2 +A+E=B^2+B+E=O 이고, 이러한 반례를 쉽게 찾기 위해 케일리-해밀턴 정리가 유용하게 쓰입니다. (평가원 입장과 상반되게 저는 상위권은 필수라고 봅니다)
A=(1 -1 / 0 1), B=(1 -2 / 1 -1) 이라 놓으면 AB= (0 -1 / 1 -1) 이 되어 성립하지 않습니다.
물론, trace의 성질을 알면 안된다는 것을 쉽게 알 수 있지만 약간 비추합니다.
아 첫줄 오류잇는거 보구 바로 답변 삭제햇는데ㅠㅠ
아 더하고빼고를 이용해서 합차이용한 인수분해엿군요...
오랜만에와서 공부하나 하고 갑니다~
조건을 정리하면 A^2+A+E=O, A^2을 조건에 대입하면 A^4+A^2+E이 식이 나오는데 A^4+A^2+E=O? 인지를 증명하는거잖아요ㅎㅎ
영행렬이 나온다면 참인거고 아니면 거짓인거고.. A^2+A+E=O 양변에 A-E를 곱하면 A^3=E, 이 식에 A를 양변에 곱하면 A^4=A, 즉
A^4+A^2+E=A+A^2+E=O이므로 참
오타..A^4+A^2+E=(A^2+A+E)(A^2-A+E)
음 이걸 어캐설명하죠.. ㄴ 은 당연하구 ㄷ은 ab=ba가 성립안되서인ㄷㅅ
근데 ㄷ은 행렬의 곱에서 교환법칙이 성립안되니까
감각적으로 틀리다는 것을 알수있지 않을까싶네요;;
제말이그말 ㅎ
ㄴ이 근데 왜 당연하죠
한동안 수학안하니 다 까묵엇네ㅠㅠ
ㄴ은 A+E의 제곱이 A일 때 A^2 + E 의 제곱이 A^2 인지 확인하면 되구요
ㄷ도 A+E의 제곱이 A이고 B+E의 제곱이 B일 때 AB+E 의 제곱이 AB인지 확인하면 돼요
정리하면 A^2 + A + E = 0 이고 B^2 + B + E = 0 인데 ABAB + AB + E = 0인지는 확실치 않죠 행렬에서 확실하지 않은 건 그냥 틀렸다고 생각하시면 됩니다
굳이 증명하려면 트레이스로 해야 할 거 같은데요
헉 이미 답글이 달렸네요 ㅎㅎ
ㄴ의 경우에는 저는 오히려 행렬에서 임의의 이차식이 주어졌을 때 A^n = pA + qE 꼴로 나타낼 수 있다라는 걸 묻는 것 같네요
A^4 와 A^2 를 주어진 식으로 정리하면 깔끔하게 나오거든요
솔직히 말해서 요렇게 풀었지 A^2 + A + E 랑 A^2 - A + E 는 생각 못했네요
그 풀이가 사실 더 간단하네요.. ^^
전 계산하기 귀찮아서 그냥 눈에 보이는대로 인수분해..--