2010학년도 수능 수학 가형 문제 질문
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학원이라서 사진은 못 찍고 말로 풀어서 설명드립니다
구가 입체공간에 있을 때 구의 중심을 지나는 평면이 구와 만나는 점의 집합은 원이잖아요
이 원들은 무한히 생길 텐데 이들을 xy평면으로 정사영 시킨 도형이 모두 '타원'이라는 사실을 당시 교육과정이나 지금 교육과정이나 증명할 수 있나요? (아니면 교과서에 한줄이라도 언급이 되어 있거나)
자이스토리 기출문제를 해결하는데 이상하게 답지에 이유를 설명안하고 타원이라고 해놨더라고요
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구의 중심을 지나는 평면과 xy 평면의 교선은 평행한 선들은 같은 값으로 정사영되고, 수직인 선들은 이면각의 영향을 받게됩니다. 그래서 원래의 원을 구분구적법처럼 교선에 수직한 직사각형으로 잘라보면, 밑변은 그대론데 높이만 이면각의 코사인 값이 곱해지는 것이죠. 원래 타원이 원으루가로와 세로의 비율이 다르게 늘린 도형이라서 (변환행렬이 사라졌는데 그 전엔 이런거 배운걸로 알고있습니다.) 아마 작성자분은 원을 정사영 시켰더니 '두 초점으로부터 거리의 합이 같은 도형이 만들어지네?!' 하신거같은데, 앞에서 말햤듯이 원이 늘려져서 타원이 되고, 타원이 그러한 성질을 갖는다고 생각하는 것이 좋을 것 같습니다 라고 생각하는데 틀린 부분이 없겠죠..?
그냥 어느정도 직관으로 받아들여야 겠네요 핫핫
xy평면 생각할 필요도 없이 모든 원은 정사영시키면 타원이 됩니다. 간단히 설명하자면...
정사영시키고자 하는 평면에 평행하고 지름을 나타내는 원 위의 선분A와 이에 수직한 지름을 나타내는 원 위의 선분B를 잡고 생각해보면, 정사영시켰을 때 A는 그대로 B는 정사영되어 길이가 짧아집니다. 결과적으로 A는 장축, B는 단축을 나타내는 형태의 타원이 되는거죠...
음... 쉽게 말해서 원을 이루는 점들을 정사영 시킬때 없던 초점 두개가 뙇! 생기고 두 초점으로 부터 거리의 합이 노올랍게도 일정한 점들의 집합이 된다는 게 고교 교육과정 내에서 수식으로 설명 가능한지, 설명할 수 없더라도 직관으로 그게 맞다고 교과서에 명시되어 있는지 여쭤본거였습니다
아 살짝 빗나갔네요ㅋㅋ 충분히 가능할 것 같습니다. 장축이랑 단축 알면 타원 식 세울 수 있으니까요
기울어진 원의 둘레 위의 한 점 P에 대하여 P의 x축의 성분과 수직인 세로성분을 잡고 정사영내리면 세로성분만 정사영되거든요.. 글로 설명하긴어렵지만..ㅠ 그렇게 풀면 매우 자연스러운 풀이가 가능해집니다.
결국 세로성분만 정사영된다는게 관건이군여!
구의 방정식을 쓰고, 평면의 방정식을 써서 z좌표를 소거하면 타원의 방정식이 나옵니다.
단 여기서 평면의 방정식에서 x의 계수 또는 y의 계수가 0인 경우만 풀어도 일반성을 잃지 않는 이유만 잘 설명하면 됩니다. 즉, 좌표로 풀면 간단합니다.