일차변환 개념 질문이요 ^^

Question

어떤 선생님이 정리해주신건데
일차변환에서
평면 전체를 일차변환시키면

역행렬이 존재하는 경우 평면전체가 평면전체를 일대일대응시킨다고 하셨어요.
증명은 
1.정의역의 다른 원소에 대해 함수값도 달라진다는 건데 이건 증명이 됐구요
2.평면 전체에서 모든 점들이 서로 다른 점들로(1에 의해) 대응이 되기 때문에 공역=치역=평면전체


라고 설명을 해주셨는데
오류가 있지 않나 싶네요.

유한개의 점이라면 일대일 함수일 때 정의역의 원소가 n개 치역의 원소도 n개라는 식의 논리로 설명이 가능한데
평면은 무한한 점들의 집합이기 때문에
이 설명이 안되지 않나요?

평면 전체의 점들이 한 영역에 있을 수도 있잖아요


그리고
이 증명이 틀렸다면
정말로 평면 전체의 점들이 역행렬이 존재하지 않는 일차변환에 의해서 평면 전체에서 평면 전체로 옮겨지는 것이 사실인지 궁금합니다 ^^

스트라디바리우스 · Accepted Answer

공역=치역이라는 설명에서 끝났지요.
무한집합에 대해서는 개수가 아니라 기수라는 개념을 들고옵니다.
정의역(공역)에서 한 녀석을 잡았을때, 적절한 녀석이 공역(정의역)에서 늘 대응(일대일대응)되면 기수가 같다고 합니다.
참고로, 한 평면위의 점들은 심지어 한 직선위의 점들로 일대일 대응이 가능하며,
한 공간위의 점들조차 한 직선위의 점들로 일대일 대응이 가능합니다.
좀더 극단적으로 얘기하면 무한한 공간위의 점들을 길이 1nm위의 점들에 대응 가능합니다.
하지만 자연수집합(1,2,3,4,5...)는 1nm위의 점들에도 대응하기 턱없이 모자랍니다.


이상, 너무 깊어지면 수리공부에 오히려 방해가 되므로 여기까지...

일차변환 개념 질문이요 ^^

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