이상한 확률문제를 발견했습니다
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원문을 그대로 옮기겠습니다
두 봉투가 있는데, 들어있는 금액은 한 쪽이 다른 쪽의 두 배임.
임의로 하나의 봉투를 선택하여 열어보니 10만원이 들어있었음.
그럼 다른 봉투엔 0.5의 확률로 20만원이 들어있을거고 0.5의 확률로 5만원이 들어있을 수도 있으니
기댓값은 10만원+2만 5천원=12만 5천원임.
즉 봉투를 바꾸면 금액의 기댓값이 높아지는 결과가 나오는데 직관적으로 이해하기 힘든 상황임.
바꾸는게 맞나요? 몬티홀딜레마때도 처음엔 "어차피 둘 중 하나인데 당연히 1/2 아냐?" 했던 적이 있어 제 논리의 한계를 잘 알고있습니다만
이건 아무리 봐도 순응할 수가 없네요. 저 결과를 일반화하면 선택한 봉투에 돈이 얼마가 있든지 다른 쪽에 든 돈의 기댓값이 1.25배인거잖아요..
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수학적으로야 125000이니 바꾸겠지만 사람들은 손해보는 장사를 안하려고 하므로...비슷한 상황이 비문학으로도 나오지않았나요?
바꿔야하는건가요? 수학적으로 저 결과가 나오긴 했는데도 계속 뭔가가 걸리는 느낌이 드는데...
기댓값 1.25배지, 실제로 20만원 뽑으면 기존의 2배고 아니면 1/2배니까...어디까지나 수학적 접근은 계산적인 접근법일 뿐 이상적인 접근은 아닐수있죠..?
때로는 직관이 이상해보일 수도 있죠
이성에 몸을 맡깁시다
근데 또 다른 논리로 접근하면 두 논리가 충돌해요
두 봉투는 완전히 같은? 그런 상황에 놓여 있으니 두 봉투의 기댓값이 얼만지 몰라도 서로 같아야 하는거 아닌가요? 한쪽 봉투의 돈 값이 확정되었을 때 다른 쪽 기댓값이 저절로 오르는걸 도저히 이해할수가 없네요
10만원짜리는 가정 아닙니까? 10만원이 존재한다는 사실을 받아들인다면 뽑기 전에는 5만 10만 20만 중 두개가 존재할텐데 사실상 여기서 구할 수 있는 기댓값이랑 10만원을 뽑고 난 후의 기댓값을 비교하면 어떻죠? 사실 기댓값은 뽑는 개수에도 의존하지 않나요?
저분 말은 그게 아닌것 같아요
10만원이 아니라 x원이라고 생각해봅시다...
애초에 열어보지 않고 기댓값을 정할수는 없는것..
절대적인 높은 금액을 원한다면 바꾸는게 맞고
상대적으로 두 금액 중 높은 금액을 원한다면 바꾸든 안바꾸든 상관없음
제가 이거 고삼때 똑같이 고민했는데... 2년 지난 지금도 결론 못냄
교수님한테 여쭤볼까
1만원이 나왔을때 바꾸는게 유리
2만원이 나왔을때도 바꾸는게 유리
...
1억2810만원이 나왔을때도 바꾸는게 유리
금액에 상관없이 바꾸는 게 유리하다면, 봉투를 열어보지 않고 바꾸는 것도 허용되려나요
이거 세개의 문 중 하나 뒤엔 차량이있고 참가자가 문하나를 골랐을때 진행자가 꽝인 문을 열어보이며 다시 선택권을 준다했을때 바꾸는게 당첨확률이 더 높다. 랑 비슷한 문제인가요??
다른 문제입니다
그게 몬티홀딜레마에요
만약 영희가 고른 봉투에 10만원이 아니라 만원이 들어 있었다고 합시다. 그러면 다른 쪽 봉투의 기댓값은 1.25만원이고, 이 경우에도 바꾸는 게 유리하죠. 이는 2만원, 3만원, 1억 2492만 5700원... 일때도 똑같이 적용되고, 그렇다면 임의의 x원에 대해서도 바꾸는 것이 유리하다는 결론을 내릴 수 있습니다.
그렇다면, 영희가 봉투를 고른 후 금액을 확인하지 않고(어차피 정확한 액수는 의미가 없죠) 다른 쪽 봉투로 선택을 바꾸면 바꾸지 않았을 때의 1.25배를 획득할 수 있다고 생각하여 봉투를 바꾸는 것은 합리적인 판단입니까? 만약 그렇다면, 어떠한 '반칙행위' 없이 자신이 얻을 수 있는 액수의 기댓값을 높이는 셈인데, 이게 어떻게 가능할 수 있습니까?
만일, 영희는 금액을 보지 않고 대신 옆에서 어머니가 액수를 확인한 뒤 바꿀 것을 권유했다면, 이 경우 영희가 봉투를 바꾸는 것은 합리적 판단입니까?
3. 영희가 A봉투를 골랐다고 할 때, B봉투의 기댓값은 A봉투의 1.25배가 되는 것이 맞다면, B봉투의 입장에서 봤을 때도 A봉투가 역으로 B봉투의 1.25배가 되어야 할 것입니다. 모순 아닙니까?
만약, 할아버지가 영희에게 봉투를 준 후 다른 봉투를 품에서 꺼내 흔들면서 2배or 1/2배 라는 조건을 제시하며 도박을 하도록 권유했다면 영희는 당연히 받아들여야 할 것입니다. 그러나 이 경우는 두 봉투의 '지위'가 완전히 대등하고, 상황이 조금 다르죠. 답지가 맞는건가요? 그렇다면 직관적으로 이해할 수 있도록 설명 부탁드립니다.
ㅍㅁㅎ에 제가 올렸던 질문임
님 생각을 구체화하는데 조금은 도움이 되지 않을까 해서 올려봅니다
음.. 마지막에 '할아버지가 영희에게 봉투를 준 후 다른 봉투를 품에서 꺼내 흔들면서 2배or 1/2배 라는 조건을 제시하며 도박을 하도록 권유했다면 영희는 당연히 받아들여야 할 것입니다.' 이부분이 이해가 안돼요
바꾸는게 당연 어렵게 이해하지 말고 전제에서 싼게 나왓으니 바꿔야지
어렵게 이해하고 머리를 쥐어짜는 과정이 역시 수학의 일부겠죠
모르고 있던 기대값이 임의의 봉투가 10만원이라고 알아내서 확정되었잖아요 구해보면
i) 5만원 10만원일 경우
1/2 ( 7.5 ) = 3.75
ii)10만원 20만원일 경우
1/2 (15) = 7.5
즉, 합하면 11만2500원 요것이 봉투 두개에 관한한 원초적 기대값이었는데 내가 10만원을 골랐으니 기댓값 보다 못한 선택을 한 것 이잖아요. 10만원 짜리를 선택했다는 조건하에서 다른 봉투는 11만2500원 이라는 평균을 맞춰야 하니 25000원을 더한 12만5000원이 되어야하고 바꾸는 것도 맞다고 보네요
그냥 여담인데 만약 10만원을 뱉어내라고 나왔다면 바꾸면 안되는것이 맞겠죠 말장난 같음
2배,1/2배라는 조건때문에 그런것 같아요
애초에 100배,0.9배 했으면 당연히 100배개 합리적이겠죠?
2배랑 1/2배는 언뜻 보면 정확히 반대 같지만
2배는 x라는 돈에 x를 얹어주는거고
1/2배는 x라는 돈에 0.5x를 빼는거니까
당연히 많이 얹어주는 쪽에 기대값이 쏠릴 수 밖에요..
합리적으로 조건을 설정하려면
한쪽은 두배 한쪽은 꽝
내지는 한쪽은+10000원 한쪽은 -10000
이런 식으로 해야될 것 같아요