이상한 확률문제를 발견했습니다

게시글 주소: https://orbi.kr/0008165953

원문을 그대로 옮기겠습니다

두 봉투가 있는데, 들어있는 금액은 한 쪽이 다른 쪽의 두 배임.
임의로 하나의 봉투를 선택하여 열어보니 10만원이 들어있었음.
그럼 다른 봉투엔 0.5의 확률로 20만원이 들어있을거고 0.5의 확률로 5만원이 들어있을 수도 있으니
기댓값은 10만원+2만 5천원=12만 5천원임.
즉 봉투를 바꾸면 금액의 기댓값이 높아지는 결과가 나오는데 직관적으로 이해하기 힘든 상황임.

바꾸는게 맞나요? 몬티홀딜레마때도 처음엔 "어차피 둘 중 하나인데 당연히 1/2 아냐?" 했던 적이 있어 제 논리의 한계를 잘 알고있습니다만
이건 아무리 봐도 순응할 수가 없네요. 저 결과를 일반화하면 선택한 봉투에 돈이 얼마가 있든지 다른 쪽에 든 돈의 기댓값이 1.25배인거잖아요..

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수능특약 [573417]

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역전의일년 · 566167 · 16/03/20 18:17 · MS 2015

수학적으로야 125000이니 바꾸겠지만 사람들은 손해보는 장사를 안하려고 하므로...비슷한 상황이 비문학으로도 나오지않았나요?

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수능특약 · 573417 · 16/03/20 18:19 · MS 2015

바꿔야하는건가요? 수학적으로 저 결과가 나오긴 했는데도 계속 뭔가가 걸리는 느낌이 드는데...

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역전의일년 · 566167 · 16/03/20 18:32 · MS 2015

기댓값 1.25배지, 실제로 20만원 뽑으면 기존의 2배고 아니면 1/2배니까...어디까지나 수학적 접근은 계산적인 접근법일 뿐 이상적인 접근은 아닐수있죠..?

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사쿠라코 · 591250 · 16/03/20 18:23 · MS 2015

때로는 직관이 이상해보일 수도 있죠
이성에 몸을 맡깁시다

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수능특약 · 573417 · 16/03/20 18:28 · MS 2015

근데 또 다른 논리로 접근하면 두 논리가 충돌해요
두 봉투는 완전히 같은? 그런 상황에 놓여 있으니 두 봉투의 기댓값이 얼만지 몰라도 서로 같아야 하는거 아닌가요? 한쪽 봉투의 돈 값이 확정되었을 때 다른 쪽 기댓값이 저절로 오르는걸 도저히 이해할수가 없네요

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사쿠라코 · 591250 · 16/03/20 18:47 · MS 2015

10만원짜리는 가정 아닙니까? 10만원이 존재한다는 사실을 받아들인다면 뽑기 전에는 5만 10만 20만 중 두개가 존재할텐데 사실상 여기서 구할 수 있는 기댓값이랑 10만원을 뽑고 난 후의 기댓값을 비교하면 어떻죠? 사실 기댓값은 뽑는 개수에도 의존하지 않나요?

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물미잡투미잡 · 588719 · 16/03/20 18:54 · MS 2015

저분 말은 그게 아닌것 같아요
10만원이 아니라 x원이라고 생각해봅시다...

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사쿠라코 · 591250 · 16/03/20 18:56 · MS 2015

애초에 열어보지 않고 기댓값을 정할수는 없는것..

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1yiaKHwhW6U3ue · 641793 · 16/03/20 18:43 · MS 2016

절대적인 높은 금액을 원한다면 바꾸는게 맞고
상대적으로 두 금액 중 높은 금액을 원한다면 바꾸든 안바꾸든 상관없음

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지뢰찾기 · 515915 · 16/03/20 18:44 · MS 2014

제가 이거 고삼때 똑같이 고민했는데... 2년 지난 지금도 결론 못냄
교수님한테 여쭤볼까

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지뢰찾기 · 515915 · 16/03/20 18:46 · MS 2014

1만원이 나왔을때 바꾸는게 유리
2만원이 나왔을때도 바꾸는게 유리
...
1억2810만원이 나왔을때도 바꾸는게 유리

금액에 상관없이 바꾸는 게 유리하다면, 봉투를 열어보지 않고 바꾸는 것도 허용되려나요

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리부팅중 · 640695 · 16/03/20 18:47 · MS 2016

이거 세개의 문 중 하나 뒤엔 차량이있고 참가자가 문하나를 골랐을때 진행자가 꽝인 문을 열어보이며 다시 선택권을 준다했을때 바꾸는게 당첨확률이 더 높다. 랑 비슷한 문제인가요??

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지뢰찾기 · 515915 · 16/03/20 18:51 · MS 2014

다른 문제입니다

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수능특약 · 573417 · 16/03/21 02:20 · MS 2015

그게 몬티홀딜레마에요

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지뢰찾기 · 515915 · 16/03/20 19:07 · MS 2014

만약 영희가 고른 봉투에 10만원이 아니라 만원이 들어 있었다고 합시다. 그러면 다른 쪽 봉투의 기댓값은 1.25만원이고, 이 경우에도 바꾸는 게 유리하죠. 이는 2만원, 3만원, 1억 2492만 5700원... 일때도 똑같이 적용되고, 그렇다면 임의의 x원에 대해서도 바꾸는 것이 유리하다는 결론을 내릴 수 있습니다.
그렇다면, 영희가 봉투를 고른 후 금액을 확인하지 않고(어차피 정확한 액수는 의미가 없죠) 다른 쪽 봉투로 선택을 바꾸면 바꾸지 않았을 때의 1.25배를 획득할 수 있다고 생각하여 봉투를 바꾸는 것은 합리적인 판단입니까? 만약 그렇다면, 어떠한 '반칙행위' 없이 자신이 얻을 수 있는 액수의 기댓값을 높이는 셈인데, 이게 어떻게 가능할 수 있습니까?
만일, 영희는 금액을 보지 않고 대신 옆에서 어머니가 액수를 확인한 뒤 바꿀 것을 권유했다면, 이 경우 영희가 봉투를 바꾸는 것은 합리적 판단입니까?

3. 영희가 A봉투를 골랐다고 할 때, B봉투의 기댓값은 A봉투의 1.25배가 되는 것이 맞다면, B봉투의 입장에서 봤을 때도 A봉투가 역으로 B봉투의 1.25배가 되어야 할 것입니다. 모순 아닙니까?

만약, 할아버지가 영희에게 봉투를 준 후 다른 봉투를 품에서 꺼내 흔들면서 2배or 1/2배 라는 조건을 제시하며 도박을 하도록 권유했다면 영희는 당연히 받아들여야 할 것입니다. 그러나 이 경우는 두 봉투의 '지위'가 완전히 대등하고, 상황이 조금 다르죠. 답지가 맞는건가요? 그렇다면 직관적으로 이해할 수 있도록 설명 부탁드립니다.

ㅍㅁㅎ에 제가 올렸던 질문임
님 생각을 구체화하는데 조금은 도움이 되지 않을까 해서 올려봅니다

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수능특약 · 573417 · 16/03/21 02:24 · MS 2015

음.. 마지막에 '할아버지가 영희에게 봉투를 준 후 다른 봉투를 품에서 꺼내 흔들면서 2배or 1/2배 라는 조건을 제시하며 도박을 하도록 권유했다면 영희는 당연히 받아들여야 할 것입니다.' 이부분이 이해가 안돼요

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다시시작이다... · 491978 · 16/03/20 19:37

바꾸는게 당연 어렵게 이해하지 말고 전제에서 싼게 나왓으니 바꿔야지

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지뢰찾기 · 515915 · 16/03/20 19:42 · MS 2014

어렵게 이해하고 머리를 쥐어짜는 과정이 역시 수학의 일부겠죠

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rPcdL6pWGKgI70 · 655517 · 16/03/20 20:37 · MS 2017

회원에 의해 삭제된 댓글입니다.

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rPcdL6pWGKgI70 · 655517 · 16/03/20 20:38 · MS 2017

모르고 있던 기대값이 임의의 봉투가 10만원이라고 알아내서 확정되었잖아요 구해보면

i) 5만원 10만원일 경우

1/2 ( 7.5 ) = 3.75

ii)10만원 20만원일 경우

1/2 (15) = 7.5

즉, 합하면 11만2500원 요것이 봉투 두개에 관한한 원초적 기대값이었는데 내가 10만원을 골랐으니 기댓값 보다 못한 선택을 한 것 이잖아요. 10만원 짜리를 선택했다는 조건하에서 다른 봉투는 11만2500원 이라는 평균을 맞춰야 하니 25000원을 더한 12만5000원이 되어야하고 바꾸는 것도 맞다고 보네요

그냥 여담인데 만약 10만원을 뱉어내라고 나왔다면 바꾸면 안되는것이 맞겠죠 말장난 같음

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물미잡투미잡 · 588719 · 16/03/20 23:03 · MS 2015

2배,1/2배라는 조건때문에 그런것 같아요
애초에 100배,0.9배 했으면 당연히 100배개 합리적이겠죠?
2배랑 1/2배는 언뜻 보면 정확히 반대 같지만
2배는 x라는 돈에 x를 얹어주는거고
1/2배는 x라는 돈에 0.5x를 빼는거니까
당연히 많이 얹어주는 쪽에 기대값이 쏠릴 수 밖에요..
합리적으로 조건을 설정하려면
한쪽은 두배 한쪽은 꽝
내지는 한쪽은+10000원 한쪽은 -10000
이런 식으로 해야될 것 같아요

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