함수의 극한에서 말이죠~

Question

한붓그리기가 가능해야지 x가a로 가는 함수에서 
그냥 a값을 대입하면 답이 나오잖아요.
근데 g(x)분의 f(x) 함수같이 막 이런 함수 
예를들면 (x-2)세제곱분의 (x+3) 이런함수들막 
참고서에 그냥 극한값 대입해서 풀더라고요...
제가 생각했을때 막 그냥 대입하면 안될것 같은데
이유도 안알려주고 막 대입을 해버리니 기본개념이 아직
부족한 저로써는 이해할수없습니다.
가우스 함수 같은것들도 그냥 막 극한값 a 
대입해서 풀더라구요....
함수를 봤을떄 한붓그리기가 가능한지 아닌지 판별할 수 있는 방법과
어떨때 그냥 막 대입해도 상관없는지 자세히좀 알려주세요 ㅠㅠ
 독학하는 삼수생이라 처음 딱 함수의극한들어가니까 헷갈리는게 많네요 ㅠㅠ
최대한 지식을 이용해서 그래프그리고 풀어보려하지만 막상 해설보면 그냥 대입해서
딱 답만 써있고 ㅠㅠ 답답합니다....

미하엘발록 · Accepted Answer

x가 a로 수렴할때 a를 함수에 대입 할 수 있을 때는 함수가 연속(=한붓그리기)일때 입니다. 
함수가 연속이면 '연속'의 정의에 의해 "극한값=함수값"이기 때문이죠.

함수가 연속임을 판별 할 때는 연속함수의 성질을 사용해야 합니다. 
함수f,g 가 연속이면 연속함수의 성질에 의해 , f*g, f+g, f-g,f/g(단,g는 0이 아님) 와 같은 함수도 연속이 됩니다. 
따라서 복잡한 함수를 보면 그 함수를 구성하고 있는 단위가 되는 함수들이 연속인지 아닌지를 판별하시면 됩니다.

(x-2)세제곱분의 (x+3)의경우, 분자 분모 모두 다항함수이므로 연속이고, 따라서 이들을 나누어도 (분모를 0으로 만드는 경우 제외)  
연속함수의 성질에 의해 연속이 됩니다. 따라서 극한값=함수값이 될수 있는 거죠

pibang · Answer

실제로 
주어진 모든 함수의 그래프의 개형을 그린 후 한붓그리기의 가능성을 따진다는 것은 불가능하구요
그래서 윗분 말씀대로 연속함수의 성질을 이용하는 경우가 보통인데..
사실 위 성질은 넒은 의미로 limit 의 성질 (선형성) 이라고 보시는게 편할겁니다.  이에 의해서 수열, 함수의 극한, 연속에서 나오는 성질들이 성립하는 거라고 보시는게 좋을 듯 싶네요~

함수의 극한에서 말이죠~

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