[박수칠] 다항함수의 그래프와 직선이 만나는 모양
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미적분1에서 배우는 미분법은 다항함수를 대상으로 하고 있습니다.
그 중에서도 삼차함수와 사차함수가 핵심이구요.
미분법을 이용해서 다항함수 f(x)의 그래프 개형을 그리는
일반적인 과정은 다음과 같습니다.
(1) 도함수 f’(x)로 함수 f(x)의 증감과 극점 조사하기
(2) x절편, y절편 조사하기
(3) 좌표평면에 극점과 x절편, y절편을 표시한 후 곡선으로 이어주기
이 과정을 따르면 대부분의 다항함수에 대한 그래프 개형을 그릴 수 있지만
시간이 걸리기도 하고, 문제 풀이에 필요한 다항함수의 특성을
놓칠 수도 있습니다.
따라서 위와 같은 과정을 거쳐 그래프 개형을 파악하는 방법 외에
함수식의 형태와 그래프 개형 사이의 관계에 대해서도 알아둬야 합니다.
1. 함수 
의 그래프 모양 (단, n은 자연수)
다음 그림은 함수 (n=1, 2, 3, 4, 5, 6)의 그래프를
하나의 좌표평면에 겹쳐 그린 것입니다.
여기서 다음과 같은 특징을 찾을 수 있습니다.
i) x > 0일 때
함수 의 그래프는 제1사분면에만 그려지고, 점 (1, 1)을 반드시 지납니다.
그리고 n의 값이 증가할수록 구간 (0, 1)에서는 x축으로 다가가고,
구간 (1, ∞)에서는 x축에서 멀어집니다.
ii) x < 0일 때
① n이 홀수일 때
함수 이 기함수이므로 x > 0일 때의 그래프와 원점에 대해 대칭입니다.
따라서 제3사분면에만 그려지고, 점 (-1, -1)을 반드시 지납니다.
그리고 n의 값이 증가할수록 구간 (-1, 0)에서는 x축으로 다가가고,
구간 (-∞, -1)에서는 x축에서 멀어집니다.
② n이 짝수일 때
함수 이 우함수이므로 x > 0일 때의 그래프와 y축에 대해 대칭입니다.
따라서 제2사분면에만 그려지고, 점 (-1, 1)을 반드시 지납니다.
그리고 n의 값이 증가할수록 구간 (-1, 0)에서는 x축으로 다가가고,
구간 (-∞, -1)에서는 x축에서 멀어집니다.
2. 최고차항의 차수와 최고차항의 계수 부호에 따른 그래프의 모양
일반적인 n차 함수 f(x)는 다음과 같이 표현할 수 있습니다.
이 식을 
으로 묶어주면
가 되고, x→∞ 또는 x→-∞일 때
이므로 f(x)를 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
여기서 
의 부호가 양수일 때와 음수일 때, n이 홀수일 때와 짝수일 때로 나눠서
x→∞ 또는 x→-∞일 때의 그래프 모양을 조사하면 다음과 같습니다.
i) 
일 때
① n이 홀수일 때
x→∞일 때 f(x)→∞이므로 그래프는 오른쪽 위로,
x→-∞일 때 f(x)→-∞이므로 그래프는 왼쪽 아래로 향한다.
② n이 짝수일 때
x→∞일 때 f(x)→∞이므로 그래프는 오른쪽 위로,
x→-∞일 때 f(x)→∞이므로 그래프는 왼쪽 위로 향한다.
ii) 
일 때
① n이 홀수일 때
x→∞일 때 f(x)→-∞이므로 그래프는 오른쪽 아래로,
x→-∞일 때 f(x)→∞이므로 그래프는 왼쪽 위로 향한다.
② n이 짝수일 때
x→∞일 때 f(x)→-∞이므로 그래프는 오른쪽 아래로,
x→-∞일 때 f(x)→-∞이므로 그래프는 왼쪽 아래로 향한다.
3. 다항함수의 그래프와 x축이 만나는 모양
다항함수 f(x)에 대하여
f(a)=0이면 함수 f(x)의 그래프는 x축 위의 점 (a, 0)을 지나고
f’(a)=0이면 x=a일 때의 접선이 x축에 평행합니다.
다항함수 f(x)에 대하여
f(a)=0, f’(a)=0이 동시에 성립하면
함수 f(x)의 그래프가 x축 위의 점 (a, 0)을 지나면서
이 점에서의 접선이 x축에 평행하기 때문에
함수 f(x)의 그래프와 x축은 점 (a, 0)에서 접하게 됩니다.
이때, 다항식 f(x)는 (x-a)²을 인수로 가지며,
이유는 다음과 같습니다.
f(a)=0이므로 인수정리에 따라 다항식 f(x)는 x-a를 인수로 갖는다.
따라서 다항식 f(x)를 다음과 같이 나타낼 수 있다.
f(x) = (x-a)Q₁(x)
그리고 함수 f(x)의 도함수가
f’(x) = Q₁(x) + (x-a)Q₁’(x)
이고, f’(a)=0이므로 다음이 성립한다.
f’(a)=Q₁(a)=0
따라서 Q₁(x)도 x-a를 인수로 가지며,
Q₁(x), f(x)를 다음과 같이 표현할 수 있다.
Q₁(x) = (x-a)Q₂(x)
f(x)=(x-a)²Q₂(x)
반대로 다항식 f(x)가 (x-a)²을 인수로 가지면 어떨까요?
함수 f(x)의 그래프는 x축과 접할까요?
함수 f(x)가
f(x) = (x-a)²Q(x) (단, Q(a)≠0)
로 표현되면 먼저 f(a)=0이기 때문에
함수 f(x)의 그래프가 x축 위의 점 (a, 0)을 지납니다.
그리고 함수 f(x)의 도함수
f’(x) = 2(x-a)Q(x) + (x-a)²Q’(x)
로부터 f’(a)=0이 성립하므로 함수 f(x)의 그래프는
x=a일 때 x축에 접하게 됩니다.
또한 Q(a)≠0이고,
x→a-일 때와 x→a+일 때 모두 (x-a)² >0 이므로
x=a의 좌우에서 f(x) = (x-a)²Q(x)는 부호 변화가 없습니다.
따라서 함수 f(x) = (x-a)²Q(x)의 그래프는
x축 위의 점 (a, 0)에서 x축을 뚫지 않으면서 x축에 접합니다.
그럼 다항식 f(x)가 (x-a)³을 인수로 가지면 어떨까요?
함수 f(x)가
f(x) = (x-a)³Q(x) (단, Q(a)≠0)
표현되면 마찬가지로 f(a)=0이기 때문에
함수 f(x)의 그래프가 점 (a, 0)을 지납니다.
그리고 함수 f(x)의 도함수
f’(x) = 3(x-a)²Q(x) + (x-a)³Q’(x)
로부터 f’(a)=0이 성립하므로 함수 f(x)의 그래프는
x축 위의 점 (a, 0)에서 x축에 접하게 됩니다.
또한 Q(a)≠0이고,
x→a-일 때 (x-a)³ < 0, x→a+일 때 (x-a)³ >0 이므로
x=a의 좌우에서 f(x)의 부호는 반대입니다.
따라서 함수 f(x) = (x-a)³Q(x)의 그래프는
x축 위의 점 (a, 0)에서 x축을 뚫으면서 x축에 접합니다.
일반적으로 다항함수 f(x)가
(단, Q(a)≠0)
로 표현될 때, 함수 f(x)의 그래프와 x축이 만나는 모양은 다음과 같습니다.
n=1일 때 f(x)의 그래프는 점 (a, 0)에서 x축을 뚫는다.
n이 짝수일 때 f(x)의 그래프는 점 (a, 0)에서 x축을 뚫지 않으면서 접한다.
n이 3 이상의 홀수일 때 f(x)의 그래프는 점 (a, 0)에서 x축을 뚫으면서 접한다.
그리고 이 내용은
다음과 같이 곡선과 직선이 만나는 모양으로 확장됩니다.
4. 다항함수의 그래프와 직선이 만나는 모양
이차 이상의 다항함수 y=f(x)와 직선 y=g(x)에 대하여
f(a)=g(a), f’(a)=g’(a)가 성립하면
x=a일 때 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)가 접한다는 것은
알고 있을 겁니다.
여기서 새로운 함수 h(x)를 다음과 같이 정의합니다.
h(x) = f(x) - g(x)
그럼 다음이 성립하죠.
h(a)=f(a)-g(a)=0
그리고 함수 h(x)의 도함수가
h’(x) = f’(x) - g’(x)
이기 때문에 다음이 성립합니다.
h’(a) = f’(a) - g’(a) =0
따라서 함수 h(x)의 그래프는 x축에 접하고
h(x) = f(x) - g(x)는 (x-a)²을 인수로 갖게 됩니다.
반대로 h(x) = f(x) - g(x)가 (x-a)²을 인수로 가지면 어떨까요?
함수 h(x)가
h(x) = (x-a)² Q(x) (단, Q(a)≠0)
로 표현되면 h(a)=0, h’(a)=0이 성립함을 알 수 있습니다.
그리고
h(a)=0으로부터 f(a) = g(a)
h’(a)=0으로부터 f’(a)=g’(a)
이므로 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)는 x=a일 때 접합니다.
또한 Q(a)≠0이고,
x→a-일 때와 x→a+일 때 모두 (x-a)² >0 이므로
x=a의 좌우에서 h(x)는 부호 변화가 없습니다.
그럼 f(x)-g(x)도 부호 변화가 없기 때문에
x=a에서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫지 않으면서 접합니다.
그럼 다항식 h(x)가 (x-a)³을 인수로 가질 때는 어떨까요?
함수 h(x)가
h(x) = (x-a)³ Q(x) (단, Q(a)≠0)
로 표현되면 h(a)=0, h’(a)=0이 성립함을 알 수 있습니다.
그리고
h(a)=0으로부터 f(a)=g(a)
h’(a)=0으로부터 f’(a)=g’(a)
이므로 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)는 x=a일 때 접합니다.
또한 Q(a)≠0이고,
x→a-일 때 (x-a)³ < 0, x→a+일 때 (x-a)³ >0 이므로
x=a의 좌우에서 h(x)의 부호가 반대입니다.
그럼 f(x)-g(x)의 부호도 반대이기 때문에
x=a에서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫으면서 접합니다.
일반적으로 이차 이상의 다항식 f(x)와 일차 이하의 식 g(x)의 차가
(단, Q(a)≠0)
로 표현될 때, 곡선 y=f(x)와 직선 y=g(x)가 만나는 모양은 다음과 같습니다.
n=1일 때 x=a에서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫는다.
n이 짝수일 때 x=a에서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫지 않으면서 접한다.
n이 3 이상의 홀수일 때 x=a애서 직선 y=g(x)는 곡선 y=f(x)를 뚫으면서 접한다.
그럼 관련 문제 하나만 보겠습니다.
다음은 2011학년도 7월 학평 나형 20번 문제입니다.
사차함수 y=f(x)와 일차함수 y=g(x)가 x=-2, 1일 때 접하기 때문에
h(x)는 최소한 (x+2)²과 (x-1)²을 인수로 갖습니다.
그리고 h(x)가 최고차항 계수 1인 사차식이므로
h(x) = (x+2)² (x-1)²
로 표현할 수 있죠.
이걸 미분해서 극댓값을 구하면 끝나는 겁니다.
(참고로 답은 81/16입니다.)
아시겠죠? ^^
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ㅎㅇ
좋은글 감사합니다~
저도 읽어주셔서 감사드립니다~ ^^
글 잘보고 가요! 감사합니당~
와주셔서 감사합니다 ^^
미적2 잘하려면 기출 n회독이 답인가요 ㅠ
미적2 뿐이겠습니까... 확통, 기벡도 그렇죠.
그런데 무조건 n회독을 한다고 되는 것이 아니고,
기본 개념/유형을 바탕으로 각각의 문제들에 대한 교과서적인 접근법을 파악하고
그 바탕 위에 특정 유형들에 대한 최적 접근법을 공부해야죠.
n회독 하다 보면 전에 푼 문제인데도 안풀리는 것들 있죠?
그건 교과서적인 접근법, 즉 계산이 복잡하든 어떻든 생각해내기 쉬운
풀이법에 대한 공부가 덜됐다는 얘기일 겁니다.
n회독 할 때 문제별로 최적화된 접근법에 너무 매달리지 말고,
교과서적인 접근법부터 익히면서 공부해야 됩니다.
잘봤습니다!!
감사합니다!! ^^
잘 봤습니다!
이과 재수생이지만 미적1을 한번 봐야 한다고 생각했었는데
공부하면서 보았던 다항함수들의 특징을 한번에 정리해 주시니 감사할따름!
수학1, 2와 달리 미적분1은 미적분2와 연관성이 매우 높기 때문에
미적분2에 준할 정도의 학습이 필요하다고 생각합니다.
열심히 봐주셔서 감사드리고,
앞으로도 계속 관심 부탁드립니다 ^^
네 좋은 칼럼 작성해주셔서 감사합니다!
칼럼감사해요..ㅠ
혹시 강의는 안찍으시나요?
그리고 궁금한거 한가지 물어보겠습니다..기출풀고 있는데 모르는문제 답지를 언제봐야지 좋을까요? 저는 풀다가 안풀리면 별표치고 넘어가고 다음날 풀어보고 하는식으로 계속 보류하고있어요 그러다가 별표 다섯개이상 넘어가는 문제도 있고 그러다가 짜릿하게 풀리는 문제도있어요 그래도 안풀리는 문제들 2014년 공도벡29번같은 문제등은 별표10개이상치고 고민해도 안풀리는데 이런문제들은 그냥 계속 보류하는게 나을까요?이런방법이 시간이 너무 오래걸려서 ...어떻게하면좋을까요?
교재 집필하면서 칼럼 올리는 것도 버거운지라
인강까지 찍으면 저 죽을지도 몰라요. ^^;
그리고 기출문제 풀 때요
자신이 체화한 개념/유형을 바탕으로
끈기 있게 도전하는 것... 엄청 중요합니다.
하지만 고난도 문제들은 좀 더 넓게 볼 필요가 있어요.
혼자 힘으로 풀었더라도 뭔가 놓친 것은 없는지,
풀이가 막히는데 어디서 뚫지 못한 것인지,
이 문제에 대한 최적 접근법이 무엇인지
이런 것들을 스스로 깨닫는데는 한계가 있거든요.
이미 해결한 문제라 하더라도 일정 수준 이상의 문제들은
해설지나 인강을 통해 자신의 풀이와 고수들의 풀이를 비교/분석해서
정리해나가는 것도 중요합니다.
해결하지 못한 문제 또한 계속 붙잡고 있지 말고,
'와~ 진짜 모르겠다' 싶으면 남들이 어떻게 풀었는지 보세요.
그리고 그 풀이를 그대로 따라하거나 외우지 말고,
자신이 알고 있는 개념과 유형별 접근법에 맞게
변형하고 논리를 만드세요.
만일 새로운 개념이나 접근법이 필요하면
그것까지 정리해두고 계속 봐야될거구요.
상세한답변감사드려요...ㅠ 말씀하신것 잘지켜볼께요..!그리고 나중에 개념칼럼들 이외에 기출분석하는 자세?원점수 100점을 쟁취하기위한 ㅇㅇ가지 요소 이런칼럼도 올려주셨으면 좋겠습니다..!마지막으로 항상 좋은 칼럼올려주셔서 감사합니다!
기출 분석은 키랄님의 글을 참고하시면 될 것 같습니다.
http://orbi.kr/0008071569
저도 칼럼 주제를 다양하게 하고 싶은데,
교재 집필에 집중하다 보니 주제도 이쪽으로만 몰리네요 ^^;