삼각함수의 활용 풀어보기 (수학칼?럼)
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안녕하세요 현재 저는 대학교에 다니면서 수학 과외를 약 3년째 하고 있는 평범한 대학생입니다
수학 칼럼이라는 말이 저한테는 너무 고능한 느낌이고 오글거려서 안쓸라고 했는데 안쓰면 님들 안볼거같아서 걍 썼습니다
제가 평소에 학생들을 가르칠 때 어떤 단원에서 어떻게 가르치는지
혹은 어떻게 제가 문제를 푸는지안궁금하실수도있지만 도움이 조금이나마 되고자 적어봅니다
참고로 전 수학 전공자가 아니라 반박시 님말이 다 맞?음
출발~
첫 번째 단원은 삼각함수의 활용 부분입니다.
그 전에 여러분들은 삼각함수 활용 문제를 풀때 평소 자신의 모습이 어떤지 확인해보세요
1. 문제 보자마자 걍 1분컷 ㅇㅇ;;
2. 일단 덤비긴 하는데 뭘 구해야할지 모르겠어서 코사인법칙이랑 사인법칙 몇번 때리다가 계산의 늪에 빠져서 5분 10분이 지났는데 4점짜리여서 버리지도 못하고 풀지도못하고 오또케오또케하다가 시간/점수 다 날려서 문제뿐만 아니라 시험 리듬을 다 망쳐버린다
혹시 자신이 2번 모습이라면 이 글이 도움이 될?수도
혹시 자신이 1번 모습이라면 부럽네요 어케햇노(일베아님)
일단 사인/코사인 법칙을 좀 살펴봅시다
이 공식들은 무섭게 생기지도 않았고 암기하기가 어렵지도 않죠
근데 왜 우리는 문제를 못풀까요?
사인법칙/코사인법칙을 단순히 암기만하고 저 식을 어떤 상황에서 어떻게 써먹을지를 정립을 안해서 그렇습니다
우리는 앞으로 삼각함수 활용 문제를 대할 때 아래 문구를 머릿속에 새겨야합니다
1. 내가 삼각형의 6개 요소중 3개만 알면 나머지 3개는 다 알 수 있다.
→사인/코사인법칙의 기본적인 원리이자 목적이죠? 내가 변/각 상관없이 삼각형의 6개 요소를 알면 사인/코사인법칙을 통해 나머지 3개의 요소를 전부 알 수 있습니다
2. 주어진 조건 하에서 유리한 사인/코사인 법칙을 선택해서 사용한다.
→사인법칙은 각 1개/변 1개/외접원의 반지름, 코사인법칙은 각 1개/변 3개의 관계를 나타내는 식입니다.
만약 문제에서 삼각형의 세 변의 길이를 줬는데 cosA값을 물어봤으면 어떤걸 써야할까요? 당연히 코사인법칙을 이용하는게 유리할것입니다.
문제에서 '외접원의 반지름의 길이' 라는 발문이 보인다면
'외접원의 반지름이 포함되어 있는 사인법칙을 한번쯤은 쓰겠구나'
라는 생각을 하고 있어야 합니다.
3. 문제에서 구하라는 값을 역추적과 정추적을 이용해서 구한다.
→이건 조금 생소할 수도 있는 개념인데요. 여기서부터는 문제로 확인해보겠습니다
260614
이 문제의 조건을 이용해 먼저 내가 알 수 있는 변의 길이를 모두 표현한 그림입니다
(사인비=길이비 같은 기본적인 개념은 생략하겠습니다)
제가 이 문제를 처음보고 길이까지만 구했을때 든 생각을 나열해보겠습니다
여러분들도 한번 1번부터 읽어보면서 납득이 되는지 읽어보세요
1. △ABQ는 세 변의 길이를 알고 있으니까 나머지 세 각에 대한 정보도 다 알 수 있겠네 필요하면 나중에 써먹어야지
2. 구하라는게 ABC 외접원의 넓이네? 그럼 사인법칙을 써야될 것 같은데?
3. 내가 각 A랑 C중에 하나만 구하면 사인법칙을 이용해서 외접원의 반지름 구할 수 있겠네
4. 그럼 내 최종적인 목표는 각A또는 각C를 구하는거겠다
5. 각A부터 봐볼까... 내가 △ABC에서 변 두개만 아는거니까 나머지 하나만 알면 끝이네
6. 엥 근데 각B는 내가 △ABQ에서도 알 수 있는 각이니까 여기서 구해갖고 △ABC에서 써먹으면 끝이네
라는 생각을 하고 나서 그다음에 펜터치를 들어갔습니다.
실제풀이
여기서 핵심은 4번인데요 문제에서 구하라는 값은 외접원의 반지름의 길이지만
3번에서 역추적을 통해서 실제로 구해야 하는 값은 각 A/각 C라는 것을 찾고
그다음 문제에서 주어진 값을 가지고 정추적을 통해서 내가 찾아야 하는 값(각 A/각 C)을 찾는겁니다
이렇게 사고흐름이 흘러가면 내가 찾아야하는 값이 명확하기 때문에 쉽고 빠르게 찾을 수 있습니다
계산의 늪에 빠지는것을 최대한 방지할 수 있죠
???:근데 수능장에서 처음부터 어케 저런생각이 깔끔하게 들어요
???:사후적 풀이는 누구나 할 수 있지;; 말만 번지르르하게 써놨노(일베아님)
ㅇㅈ합니다
시험장에서 문제를봤을때 아무것도 단서를 찾을수 없어서 님들 얼굴이 저런 표정일수도있죠(경험담입니다)
그래도 연습은 저런식으로 생각을 해야 실전에서도 저렇게 풀 수 있는 가능성이 0.1%라도 올라가는겁니다
만약 자기가 생각을 해봤을 때 예를 들어 2번에서 막혔다, 그 이후에 저런 생각이 잘 안든다 라고 하시면
삼각형을 하나씩 보면서 최대한 내가 찾을 수 있는 변들/각들을 찾아보고, 위에서 머릿속에 새긴 세가지 문구를 되뇌이면서 문제에서 구하라는 값과 연결하려는 연습을 하시면 좋습니다
(예를 들어서 △ABQ는 내가 세 변을 다 아는데, 이를 사인법칙/코사인법칙을 통해 어떻게 사용할 수 있고 어떤 값을 얻을 수 있을까?, 외접원의 넓이는 어떤 식이랑 이어지는거였지? 와 같은 생각들이 도움이 될 수 있습니다)
한문제 더 볼까요? 근데 이거 쓰다보니까 너무 길어져서 여기까지 보는사람이 있을랑가 모르겠네요
261114
작년 수능 14번 문제입니다 통통기준 오답률 53%로, 객관식 오답률 2등/전체 8등한 까다로운 문제라고 볼 수 있죠
먼저 문제에서 주어진 값들을 다 표시해봤습니다(항상 도형 문제 풀때 하는 습관입니다)
그다음에 제가 든 생각은
0. 선분 AB를 2:1로 내분하는 점 D를 준 이유는 반지름 주려고 준거네
1. 각HCG=각CAB 라고 했으니까 사실상 각HCG에 대한 정보를 다 준거네
2. 내가 구해야 할 HG가 포함된 △HGC에 대해 각하나/변하나 알고 있으니까 나머지 하나만 알면 끝이네
3. 나머지 하나를 어케알지?시바;;
네 3번에서 막혔어요 이 그림만 보고서는 계속 봐도 나머지 하나를 못떠올렸습니다
그다음 보조선 GA를 그렸는데요, GA를 그린 이유는감각적인 직관 원의 반지름을 사용할 수 있다/내가 완벽하게 아는 △CGA가 만들어진다 가 두가지 이유였습니다
그리고 보조선 GE까지 그려서 원에 내접하는 사각형을 만들어줬습니다
4. 보조선을 그렸더니 각CEG 값만 구하면 내접하는 사각형의 성질을 이용해 각 CHG값을 구할 수 있고, 이러면 끝이네
5.삼각형 CGE에서 두 변의 길이를 아니까 하나만 구하면 각 CEG도 알 수 있겠네
6. 각 GCA는 내가 △CGA에서 알 수 있으니까 여기서 구하면 끝이네
하고 펜터치를 들어갔습니다.
실제풀이
그래서 이 문제의 최종 목표는 GH의 길이지만, 실질적으로는 각 GCA만 구하면 된다는 것이었습니다
이렇게 실질적인 목표를 구해주고(역추적), 이를 문제에서 주어져있는 값을 이용해 찾는(정추적) 알고리즘을 세우려고 노력해야 하고, 이런식으로 연습해야 실전에서 무의식적으로 우당탕탕 풀이로라도 풀 수 있는거라고 생각합니다
안그러면 뭔가 코사인 법칙을 썼는데 이걸 왜 하는건지.. 계산은 또 왜이리 복잡한지.. 구했더니 또 뭘 구해야하는건지... 하면서 계산의 늪에 빠지게 되면서
뭔가 열심히 적혀져 있지만 답은 다 틀려있고 페이지가 너무 더러워서 오답할 엄두도 안나고 분수 약분하다가 계산실수하고 짜증을 내면서 다음에 해야지 하고 수능날까지 그대로인 여러분의 마더텅을 볼 수 있게 될겁니다
아무튼 얘기가 길었지만 삼각함수 활용은 이제부터라도
1. 내가 삼각형의 6개 요소중 3개만 알면 나머지 3개는 다 알 수 있다.
2. 주어진 조건 하에서 유리한 사인/코사인 법칙을 선택해서 사용한다.
3. 문제에서 구하라는 값을 역추적과 정추적을 이용해서 구한다.
이 세가지를 머릿속에 새기고 오늘부터라도 마더텅의 삼각함수 활용 파트를 펼쳐서 먼지 쌓인 문제들을 다시 풀어보시길 바랍니다
아무튼 날씨가 많이 더운데 공부하느랴 힘드시죠?
전 공부를 안하는데도 더워서 힘들어요
공부를 해도 힘들고 안해도 힘든거라면 차라리 공부를 하면서 힘든게 낫지 않을까요?
반응좋으면 다음도 생각은...해보겠습니다
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