2026 고3 7모 수학 미적분 후기 및 해설

Question

안녕하세요 7모 후기 및 해설로 돌아온 구름정원입니다. 이번 7모 같은 경우에는 상당히 빡빡했던 시험이었던 것 같습니다. 계산량도 전체적으로 많고, 문제들의 호흡도 길어 굉장히 숨막히는 시험이지 않았을까 예상해봅니다. 풀이 시간은 60분 정도였고, 14, 15, 21, 22, 28, 29, 30번 문제에서 시간 소요가 꽤 되었습니다. 서론은 여기까지 하고 바로 풀이로 넘어가보도록 하겠습니다. 14, 15, 21, 22, 28, 29, 30번을 함께 보도록 하겠습니다.

14번은 좀 무섭게(?) 생겼지만 속은 착한 도형 문제입니다. 원이 여러개 있고 길이들도 많아 복잡해 보이지만, 그래도 문제에서 요구하는 길이를 구하기 위한 조건에 주목해 찬찬히 따라가면 비교적 쉽게 답이 도출됩니다. 중점 조건, 원 조건 등을 이용해 구할 수 있는 길이들을 구해보면 합동인 삼각형을 찾을 수 있습니다. MH 길이를 구하기 위해 필요한 각을 세타라고 하면 삼각형 ABC에서 세타에 대한 정보를 얻을 수 있습니다. 도형 문제에서는 쉽게 구할 수 있는 각, 길이 등을 일단 정리해두고, 이후 닮음/합동/원주각 등의 성질을 적당히 이용할 수 있을지 고민해보면 풀이시간 단축에 도움이 될 것 같습니다.

15번은 교육청스러운 수2문제입니다. 처음에는 경우가 어떻게 나올지 고민되고 최소/최대를 구하는 것이라 구하고 나서도 약간의 찝찝함이 있었는데, 다시 볼수록 조건들이 합리적으로 정리되는 느낌이 들어서 괜찮았습니다. 우선 절댓값 조건이 있으니 일단 이를 해체해주고 살펴보게 되면 h 함수가 -1에서만 미분가능하지 않기 때문에 -1에서만 f-g의 부호가 바뀜을 알 수 있습니다. 또 2f-g의 경우 3차항과 상수항만 존재하고, g도 3차항과 2차항만 존재해 개형을 대강 그려보면 그림과 같은 형태가 나올 것이라 예상할 수 있습니다. 이후에는 나머지 조건들을 이용해 구해야하는 값의 범위를 알아봐야 하는데, 이때 -1에서만 미분가능하지 않다는 것에 유의해야합니다. f-g가 -1이외의 근은 가지지 않거나, 가지더라도 중근을 가져야 하므로 이것과 (나) 조건을 이용해 범위를 구할 수 있습니다. 교육청 문제들이 계산이 많거나, 조금 허탈한 감은 있어도 확실히 문제를 그럭저럭 잘 낸다는 생각이 들긴 합니다.

21번도 경우를 추론해야하는 고난도의 수2문제입니다. 처음 볼 때는 a, 3/2 a, b, 4의 대소관계에 따라 경우가 나눠지는 것 같아 굉장히 복잡해 보이는데, 이 역시도 조건을 활용해 경우를 꽤나 줄일 수 있습니다. 가 조건에서 t가 0+로 갈 때 교점이 6개려면, 근이 3개여야 합니다. 근 1개당 뚫든 찍고 돌아가든 교점이 2개씩 생길 것이기 때문입니다. 따라서 4가 근으로서 살아 있어야 하고, a와 3/2 a 사이 존재함을 알 수 있습니다. 그러면 b가 a보다 작을지, 3/2 a 보다 클지의 2가지 경우가 나오는데, 후자의 경우는 어떤 t든지 교점이 2개 이상 나오게 되어 안됩니다. 따라서 전자의 경우에서 나 조건을 만족하려면 표시해둔 값들으, 절댓값이 모두 같아야 하고, 이를 바탕으로 a, b의 값을 구할 수 있습니다. 여담으로 처음 풀때는 교육청답게 a가 적당한 자연수겠거니 했는데 아니여서 조금 당황했던(?) 문제였습니다.

22번은 지수로그함수 탈을 쓴 뭔가뭔가한 문제입니다. 겉은 지로함이지만, 실상은 대칭이동/평행이동 등의 고1수학이 더 쓰인 것 같은 느낌이었습니다. 주어진 지수함수를 y=x에 대해 대칭한 후 평행이동하면 로그함수가 나오는데, 평행이동한 거리가 원 반지름 길이이기에, C의 좌표를 a, b로 표시할 수 있습니다. 이후에는 넓이비 조건을 사용하면 되는데, 생으로 넓이를 구하는 것은 사실 계산량이 너무 많고, AB를 밑변으로 잡아 O와 C에서까지의 거리를 구하는 것이 훨씬 수월할 것 같습니다. 그러면 a+b가 27이 나와 a, b 값을 결정지을 수 있습니다. 여기서 끝이 아니라 m+n의 최대를 구해야 하는데, m이 커질 때 n도 커지므로 이는 쉽게 구할 수 있습니다. 지로함치고는 좀 허탈하고, m+n도 굳이 왜 한 번 더 구해야 하는지는 조금 의문이 드는 문제였습니다.

28번은 역함수, 합성함수 등을 이용한 적분 문제입니다. 주어진 식을 미분하면 f, g의 관계가 도출되고, 역함수에서 적분하는 식을 잘 이용해주면 구해야하는 값을 계산할 수 있는 형태로 바꿀 수 있습니다. 겉보기에는 무척 복잡해보였지만, 풀어나가니 할 만한 문제였던 것 같습니다. 역함수를 적분해야하는 경우 대다수는 원함수 적분 꼴로 바꿔 계산하는 경우가 많다는 점을 이용하면 비슷한 문제들을 비교적 쉽게 풀 수 있을 것 같습니다.

29번은 수열 문제입니다. an의 부호가 어떻게 될지를 고민해가는 과정이 꽤나 흥미롭습니다. 가 조건과 bn의 특성을 생각하면 모두 다 양수일 수는 없고, 모두 다 음수라면 합이 63이라는 것에 위배될 것입니다. 그러므로 음/양이 교대로 등장함을 알 수 있습니다. 이때 b2가 a4가 되면 곱이 음수가 될 수 없기에, b1이 a2여야 함을 알 수 있고 따라서 초항이 양수임을 알 수 있습니다. 나 조건을 계산해 공비를 찾고, an, bn의 합이 63임을 이용해 초항을 찾으면 원하는 값을 구할 수 있습니다. 수열 문제에서는 부호에 대해 고민해보고, 이후 식들은 수열의 합 공식을 이용해 초항, 공비를 구하기 쉬운 형태로 계산해주면 비교적 수월하게 답을 도출할 수 있습니다.

30번은 고난도의 추론 문제입니다. 26학년도 6월 평가원 28번 문제와 유사한 느낌이 듭니다. 나 조건을 이용해 가 조건 우변 식이 감소함수이고, 프라임이 0이 되는 지점이 존재한다는 것을 찾아야 합니다. 식을 두 번 미분해 k값과 a, b의 관계를 얻을 수 있습니다. 이후 f(x) 대신 -bx를 넣고 정리하게 되면, a, b 값을 구할 수 있습니다. 식/개형을 직접 추론하기 힘든 형태에서는, 몇 가지 단서들, 이를 테면 특정 미분값, 특정 값 등을 이용해 미지수를 구해야 하는 경우가 많습니다. 합성함수의 형태로 특히 주어진다면 해당 합성함수가 원함수와 합성되며 어떠한 특성을 가지는지에 집중해 문제를 풀어나가면 좋을 것 같습니다. 여담으로, 모든 실근의 합을 구하라고 되어 있어 근과 계수와의 관계를 사용하거나, 함수의 특성 등을 사용할 줄 알았는데 나머지 근이 0이라 조금 당황스러웠습니다...

오늘은 이렇게 해서 2026 7모 일부 문항을 함께 살펴봤습니다. 전체적으로 교육청 문제 답게 익숙한 문제들을 조금 변형해 계산을 강화하는 형태가 나타남을 확인할 수 있었습니다. 문제들이 호흡이 길고 계산량도 많아, 수능에 출제되었어도 먼만치 않은 난이도였지 않았을까 생각합니다. 또 킬러문제(15, 21, 22, 28, 29, 30) 문제와 나머지 문제 간의 오답률 간극도 큰 시험이었던 것 같습니다.

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멩멤 · Accepted Answer

수험생도 아닌데 이걸 60분만에 풀다니... 어케 하시는 건가여ㅠㅠ

qbodpbo · Answer

저는 15번 풀때 함수가 바뀔 때 f=g에서 함수가 바뀌고, 2f-g와 g의 미분계수가 같다면, 즉 f'=g'이라면 함수가 바껴도 미분가능하므로 해당 케이스도 고려하다가 f랑 g랑 -1에서만 만나는거까지 고려해야되서 연산량땜에 터졌는데 ㅠ

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