260730 기하 교과외 풀이
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현장풀이는 아니고, 집모 최초풀이를 다듬은 것입니다.
#1
우선, 평면 α를 단면화해 필요한 길이들을 정리합니다.
각 ABD와 BDC가 같으므로 삼각형 BCD에서 코사인법칙을 사용하면 CD의 길이가 6√5임을 알 수 있습니다.
(P'는 P의 평면 α 위 정사영입니다.)
#2
다시 공간으로 돌아와, PP'⊥α이고 BD⊥AD이므로 PD⊥AD임을 구해줍니다. (삼수선의 정리)
여기서 (나) 조건을 통해 각 PDB의 크기가 π/4임을 알 수 있습니다.
그리고, 구 S와 평면 PDB가 만나는 교선을 구하면 이는 지름이 선분 BD이고 P를 지나는 원임을 알 수 있습니다.
여기서 P'가 원의 중심이 되므로, PP' = DP' = BP' = 10인 것을 구할 수 있습니다.
#3
*여기에 15개정 교과 외 범위가 섞여있습니다.
DA를 x축, DB를 y축으로 하는 좌표계를 설정하고 각 점들을 좌표로 표현해줍니다.
A(10, 0, 0) / B(0, 20, 0) / C(-6, 12, 0) / P(0, 10, 10)
이제 평면 PAB와 PBC의 법선벡터를 각각 구한 다음 둘이 이루는 각을 구해주면 됩니다.
평면 PAB의 법선벡터의 성분을 (a, b, c)이라고 하면,
이 벡터가 평면 PAB에 속하는 서로 평행하지 않은 두 벡터와 수직이라는 점을 활용할 수 있습니다.
벡터 PA(10, -10, -10) · (a, b, c) = 10a-10b-10c = 0
벡터 PB(0, 10, -10) · (a, b, c) = 10b-10c = 0
이 됩니다. 이 연립방정식을 풀고 가장 간단한 정수비로 나타내면 (2, 1, 1)이 됩니다.
같은 방식을 평면 PBC의 법선벡터에도 해보면 이의 법선벡터는 (-4, 3, 3)이 나오게 됩니다.
#4.
cosθ = |(2, 1, 1) · (-4, 3, 3)| / √6 * √34 = 1/√51
cos^2θ = 1/51
p+q = 52가 되겠습니다.
22개정에서는 교과외 아닙니다 으하하
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Xin chào
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30번 진짜 그냥 교과외 쓰는게 너무너무편한셋팅임..ㅠㅠ평면의방정식이랑 공간벡터를 대체 왜뺀지
ㄹㅇ 숫자도 깔끔하고 계산도 안빡세고저는 저게 덜 발상적인것 같다고 느꼇어요
처음 풀 때 저리 해서 그런지는 몰라도...
#3이22개정에선 교과 내임?
교과 내 개념을 응용하면 가능평면에 수직인 직선의 조건 + 공간벡터 + 두 평면이 이루는 각의 크기
캬캬캬