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4?
어떻게푸심
그냥 여러개 계속 개형 바꿔가면서 검증했어요;; 제 경우엔 시간도 걸리고 어렵네요.. ㅜ
t나 f(t)가 0인 경우는 일단 나중에 고려하자. f(x)의 극값이 존재함은 구간 내 실근 합 일정 조건에 의해 명백하다.
x f(t)=/=f(x)의 극값 그리고 tf(t)가 극값이려면, t>0에서 f(x)의 부호=/=f’(x)의 부호이고 t<0에서 f(x)의 부호=f’(x)의 부호
만약 t=0이면, tf(x)=0이므로 0이 tf(x)의 극값이다. 따라서 t=/=0이다. 만약 f(t)=0이면, 문제가 없다. 그러나 구간이 단 하나의 열린 구간으로 주어져있고, f(t)의 부호가 바뀜에 따라 즉시 tf(t)의 극값 여부가 달라짐을 유의하자. 이 때문에 f(t)=0 지점이 포함되면 다음 특수한 경우를 제외하고 열린 구간이 아니게 된다. 따라서, f(t)=0이면 f(x)의 극값 중 0이 있거나 f(t)=0일 때 t=0이어야한다. 삼차함수이므로 0인 근이 적어도 하나 있다. 세 개 있을 수 없음은 명백하다. 먼저 단 하나만 있다고 가정하자. 그럼 실근인 t=0임이 따라온다. 이 때 함수가 감소하는 구간이 조건을 만족한다. 그러나 g(x)=k의 실근은 삼차함수의 두 실근 만을 포함한다. 따라서 실근의 합이 일정하지 못하다.
이제 0인 근이 두 개 있다고 가정하자. 일단, 두 근 모두 0에서 가지지 않는다고 하자. 그럼 뚫고 지나가는 근을 포함하지 않지만 충분히 가까운 좌측/우측 구간 중 하나는 조건에 맞는 구간에 포함된다(도함수나 함수 둘 중 하나의 부호만 바뀌므로) 또한 중근도 그렇다. 그러면 조건에 맞는 구간이 적어도 두 개는 존재함이 보여진다. 따라서 귀류법에 의해 둘 중 하나는 0이어야 한다. 뚫고 지나가는 근이 0이라고하자. 단 하나만 있을때와 같이, 함수가 감소하는 구간이 조건을 만족하고 따라서 실근 합 일정 조건을 만족하지 못한다. 중근이 0이라고 하자. 그럼 뚫고 지나가는 근 부터 0이 아닌 극값까지의 구간이 조건을 만족한다. 뚫고 지나가는 근이 중근의 오른 쪽에 위치하면 g(x)=k 실근이 t밖에 없을 뿐더러 f(x)=f(t) 실근의 합이 음수인 것도 불가능하다. 따라서 왼쪽에 위치하는 개형이 옳다. 실근 합이 -3으로 일정 조건에서 이차항의 계수가 3이다(세 근 모두가 실근인건 그래프에서 자명하다). 0에서 중근 가지므로 최소차항이 2차항이다. f(x)=x^3+3x^2, 삼차함수의 비율관계에 의해 a=-3 b=-2 -> f(1)=4
대단해요