고1 수학문제 질문입니다

Question

교과서로 공부하고 있는데 요즘은 교육과정이 개정된 탓인지 

통계 대신에 경우의 수와 순열 조합이 들어와있네요

본 단원의 연습문제 중에 하나 질문합니다

[잡곡밥, 오곡밥, 현미밥 중에 하나, 여러 반찬중에 3개, 여러가지 국 중에 1개를 골라서 최소 100일동안 다른 식단을 맛보세요 라는 광고에서

국의 가짓수와 반찬의 가짓수의 합이 최소가 될때, 국과 반찬은 각각 몇가지가 준비되어야하는가?]

이게 문제입니다.

일단 별 어려움없이 답은 구했는데 다른 방법으로 구할 수 있는지를 질문드립니다. 

제가 답을 구해낸 방법으로는

국의 가짓수를 x 반찬의 가짓수를 y로 잡았을 때

3*(xC₁)*(yC₃)≥100

=3*(x)*[{y*(y-1)*(y-2)}/6]≥100

=x*y*(y-1)*(y-2)≥200

여기서 x≥1 y≥1 이므로 일일이 자연수를 대입하며 경우의 수를 따져가면서

x=1 y=7 또는 x=2 y=6 를 구하긴 했습니다

근데 전 처음엔 x+y의 값이 최소가 되야한다는 조건때문에 부등식의 영역을 이용한 선형계획법을 사용하는거라고 생각했거든요..

근데 그렇게는 안되는거 같아서 결국 일일이 대입하는 방법을 통해서 구했습니다만..

단원이 경우의 수 단원인 만큼 일일이 대입하는 방법도 한 방법이 될 수는 있겠지만

수식을 통해서 좀 더 깔끔히 풀어낼 수 있는 방법은 없나요? 아니면 제가 쓴 방법이 유일한가요?

dfagghrree · Accepted Answer

저도 그 방법밖에 생각이 안나네요. 그리고 y의 범위는 1이 아니라 3이상입니다.

아탈란테 · Answer

아 그렇지 -_- 반찬 세가지 선택이라고 뻔히 적어놓고는 y≥1이라고 하다니 -_-;;
하여튼 고맙습니다 ㅎㅎㅎ

완전수 · Answer

비선형인데다가 x, y 가 자연수라는 조건까지 있으므로, 별다른 방법은 없어보입니다. 단 y가 x에 비해 식의 값에 영향을 더 크게 미치므로,

y = 3 일 때 x >= 100 / 3 이므로 x >= 34
y = 4 일 때 x >= 100 / 3 / 4 이므로 x >= 9
y = 5 일 때 x >= 100 / 3 / 10 이므로 x >= 4
y = 6 일 때 x >= 100 / 3 / 20 이므로 x >= 2
y = 7 일 때 x >= 100 / 3 / 35 이므로 x >= 1

이 되어, x = 1, y = 7 이라는 답과 x = 2, y = 6 이라는 답이 나오는데, 문제에서 "여러가지 국"이 있으므로 x = 2, y = 6 이 맞을 것으로 생각됩니다.

아탈란테 · Answer

직선의 연립방정식이 주어질때만 선형계획법을 쓰는거겠네요 -_-ㅋ
완전수님 감사합니다

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