[칼럼] 인수정리로 서울대 가기
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2022학년도 서울대 수시 일반 A/D 문항
1-3이 메인이니 1-3을 한번 보도록 하겠습니다
문항을 보면 알겠지만
물의 부피가 일정하다는 사실을
그릇의 너비가 일정하니 넓이가 일정하다는 논리로 접근하여 푸는 문제인데
직접 적분하는 방법을 첫째로 수록하셨고
h(t)가 수면의 높이인 만큼
직선을 수면삼아 직선과 점의 거리를 구하는 방법으로 푸는 방식을 소개해주셨습니다
저는 둘을 섞되 살짝 리파인을 가하는 방법으로 풀었는데
먼저 물의 부피가 변하지 않는
즉 정면에서 본 물이 든 넓이가 변하지 않는 경우부터 봅시다
우리가 참 좋아하는 빼기 함수의 논리를 이용하면 결국 저 면적은 1/2(x-2/3sqrt(3))(x+2/3sqrt(3))을 x축과의 교점에서 교점까지 적분한 값과 같겠네요?
그런데 저 값은 기울이는 것과 더불어 좌우로 평행이동을 해도 절대 안 변한다 그죠?
그러면 정면에서 본 수면을 하나의 직선이라고 생각해봅시다
그러면 수면이랑 지면이 평행하니 수면의 기울기는 접선이랑 같고
수면과 지면의 거리가 h(t)니까 이를 y축 방향으로 보정한 h(t)/cost만큼 이동하면
수면의 방정식이 나오겠네요?
그런데 그걸 원래 함수인 y=1/2x^2에서 빼면 어차피 면적은 안 변하니까
1/2(x-2/3sqrt(3))(x+2/3sqrt(3))를 평행이동한 식으로 나오겠죠?
짠
물의 부피가 변하는 구간은 논리 자체는 더 간단합니다
어차피 h(t)는 직선과 직선 사이의 거리 아님?
그러면 직선이랑 직선 위의 한 점 잡고 거리 공식 쓰면 되겠네?
근데 마침 이 상황에서 지면은 접선이고 수면은 무조건 (sqrt(3), 3/2)를 지나네?
공식에 넣고 열심히 푸시면 됩니다
마무리
1-4는 저기 구한 식 미분만 해보면 되니 별 거 없죠?
이렇게 인수정리를 통해 귀찮은 적분을 생략하고 문제를 풀어 보았습니다
수능에서도 자주 써먹는 논리인데 수시 면접이나 논술같은 곳에서도 잘 써먹을 수 있네요
게다가 내년부터 수능 범위에서 미적분이 빠지니까 논술에서도 지금의 수학 2 파트가 더 강화되지 않을까 싶네요
익혀두면 써먹을 날이 다시 올지도?
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