[270613] 이거 어캐 증명함?
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ㄷ을 풀 때,
x>0에서만 f(x) − g(x) = x² − 2x + 2 인데
f(x)와 g(x)가 둘 다 다항함수이므로 당연히 x≤0일 때에도 같은 식이 성립한다고 생각하고 푸신 분들이 많았을 것으로 생각됩니다.
아니면 그냥 별 생각 없이 -2부터 2까지 적분하여 ㄷ의 참·거짓을 판정하셨을 수도 있습니다.
근데 뭔가 찝찝한 기분이 들지 않나요? 정답만 내면 되는 모의고사니까 간단히 넘어갔지, 만약 수리논술처럼 풀이 과정도 중요한 시험이었다면 저 정도만 써도 충분했을까요?
물론 시험장에서 이 정도 직관으로 빠르게 넘어가는 건 올바른 전략입니다. 일일이 따졌다간 시간 낭비만 할 뿐이니까요. 하지만 시험이 끝나고 복습할 때,
“왜 x>0에서만 성립하는 걸 실수 전체로 확장할 수 있지?”
라는 질문을 한 번 던져보는 것, 이게 수학 실력을 진짜로 성장시킬 것입니다.
혹시 명쾌한 증명이 어렵다면, 스스로 조금 더 생각해보시고 아래를 확인해보세요.
설명
f(x)와 g(x)가 다항함수이므로 함수
p(x) = f(x) − g(x) − (x²−2x+2)
도 다항함수입니다. 이때 x>0인 모든 실수 x에 대하여 p(x)=0이므로, 방정식 p(x)=0의 실근은 무한히 많습니다.
n차방정식의 실근은 최대 n개이므로, p(x)=0의 실근이 무한히 많다는 것은 p(x)가 어떤 차수의 다항식도 아니라는 뜻입니다.
즉, 모든 실수 x에 대하여 p(x)=0임을 의미합니다.
따라서 모든 실수 x에 대하여 f(x) − g(x) = x² − 2x + 2 라 할 수 있고,
이를 바탕으로 ㄷ을 무리 없이 풀어낼 수 있습니다.
위 증명을 읽으며 “엥? 이게 뭔 소리야?” 했을 수 있는 부분을 짚어 보충설명 드리겠습니다. (클릭하면 열림)
당연한 이야기지만, 시험장에서 이걸 다 따져가며 풀자는 것이 아닙니다.
하지만 복습할 때 “왜 되는 거지?”를 한 번이라도 파고든 사람과 그냥 넘어간 사람은,
비슷한 논리가 다른 문제에서 나왔을 때 확실히 차이가 납니다.
화이팅!
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