6평 수학 22번은 사실 확통 문제였다.

Question

처음에 무작정 나열하다가, 도무지 나열로는 모든 케이스를 다 찾을 수 없겠다고 생각함. 그래서 이 풀이로 풀었음.

(아래는 지피티가 내 풀이 정리해줌)

이거 그냥 확통문제라는 생각이 들거임. 다들 어케 생각?

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주어진 점화식은 첨자의 변화에 따라 다음과 같이 해석할 수 있다. n → 2n 이면 수열의 값이 1 증가하고, n → 4n+1 또는 n → 4n+3 이면 수열의 값이 4 증가한다. 또한 1에서 3을 만들어 낼 수 없으므로, a_k=10이 되는 경우는 a_1=1에서 시작하는 경우와 a_3=4에서 시작하는 경우로 나누어 센다. 1을 더하는 연산의 횟수를 x, 4를 더하는 연산의 횟수를 y라고 하자. 4를 더하는 연산은 첨자를 4n+1 또는 4n+3으로 바꾸는 두 가지 방법이 있으므로, 한 번 시행할 때마다 선택지가 2개씩 존재한다. 1. a_1=1에서 시작하는 경우 1+x+4y=10 이므로 x+4y=9 이다. (1) x=9, y=0인 경우 1을 더하는 연산만 9번 시행하므로 1가지이다. (2) x=5, y=1인 경우 총 6번의 연산 중 4를 더하는 연산의 위치를 고르는 방법은 6가지이다. 또한 4를 더하는 연산은 4n+1, 4n+3 중 하나를 선택할 수 있으므로 6×2=12 가지이다. (3) x=1, y=2인 경우 총 3번의 연산 중 4를 더하는 연산 2개의 위치를 고르는 방법은 3가지이다. 각각의 4 증가 연산마다 선택지가 2개씩 있으므로 3×2×2=12 가지이다. 따라서 a_1=1에서 시작하는 경우는 1+12+12=25 가지이다. 2. a_3=4에서 시작하는 경우 4+x+4y=10 이므로 x+4y=6 이다. (1) x=6, y=0인 경우 1을 더하는 연산만 6번 시행하므로 1가지이다. (2) x=2, y=1인 경우 총 3번의 연산 중 4를 더하는 연산의 위치를 고르는 방법은 3가지이다. 또한 4를 더하는 연산은 4n+1, 4n+3 중 하나를 선택할 수 있으므로 3×2=6 가지이다. 따라서 a_3=4에서 시작하는 경우는 1+6=7 가지이다. 두 경우를 모두 더하면 25+7=32 이므로, a_k=10을 만족시키는 자연수 k의 개수는 32 이다. [핵심 아이디어] 각 자연수 k는 첨자를 거꾸로 추적하면 출발점이 1 또는 3으로 유일하게 정해진다. 따라서 서로 다른 연산 배열이나 선택지가 같은 k를 중복하여 만들어 내지 않는다.

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frightened · Accepted Answer

말투가 파이썬 프로그램같노

비자림 · Answer

저도 현장에서 그렇게 풀었어요. 시작할 항 2개 준 이유가 있을거라 생각해서...

qbodpbo · Answer

중복 k가 없다는게 약간 핵심인듯
홀수 * 2^k 꼴로 나와서
갠적으로 중복항이 없다는 추론은 잘 낸거같음

MakeCsatGreatAgain · Answer

???: 부정출제다!

6평 수학 22번은 사실 확통 문제였다.

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