2등급 이하를 위한, 수학 동치조건 생성용 양화사 전환 알아보기

Question

어떤 문장/명제의 술어를 만족하는 변항/주어가 논의영역 내에서 얼마나 존재하는지를 알려주는 한정 기호를 양화사라고 함

흔히들 봤을 ∀와 ∃ 가 이에 해당됨

근데, 단순히 모든과 존재 라는 두 양화사는 딱히 큰 연관은 없을거같지만

현대 술어논리와 수리논리학에서는 저 두 양화사는 매우 밀접한 관계를 갖고 있음

‘어떤’이라는 한정사가 ‘존재한다’를 함축하고 있고 반대로 ‘존재한다’는 ‘어떤’ 을 내포하고 있기 때문임

무튼 양화사 전환이라는 것은 술어논리적으로 문장의 동치명제를 이끌어내서 추론하는 규칙(문법)을 뜻하고

양화사 전환한 문장/명제는 원래의 명제와 진리치가 같고+동치임

양화사 전환 규칙을 적용하는 법

1. 문장의 술어를 뽑아서 그것만 부정함

2. 양화사의 종류를 전환함 (모든은 어떤/존재한다 로, 어떤/존재한다는 모든으로)

3. 양화사 종류를 바꾼 결과가 ‘존재한다’ 이면 그것을 부정하고(존재한다는 존재하지 않는다로, 존재하지 않는다는 존재한다로), ‘모든’이면 뒷부분의 ‘만족시킨다’ 같은 나머지 부분을 부정하면 됨.

다음 매우매우 쉬운 예시를 통해 살펴보자

박스조건

함수 f(x)에 대하여부터 저 부등식까지를 P라고 해보겟슨 그럼 P가 술어임

그럼 정수 전체 집합이 논의영역이고, 어떤 정수 k가 변항, ~존재한다 (즉 존재하지 않는다)는 양화사,

”만족시킨다“는 나머지 부분.

즉,

~∃(정수k){ f(k-1)f(k+1) <0 }

저 박스조건은 조건문 형식이 아니라 고1 수학하의 대우명제 규칙은 적용하기 어려워보임

양화사 전환을 해보자

1. ~P. 즉

$ZihrLTEpZihrKzEpXGdlcSAw$

일케되죠

2. 존재하지 않는다(어떤/존재한다)의 양화사를 모든으로 바꿈

그럼

~[∀(정수k){ f(k-1)f(k+1) >=0}]

모든 정수 k는 $ZihrLTEpZihrKzEpXGdlcSAw$ 을 만족시키지 않는다.

이렇게바뀌죠

3. 주어 k의 양화사 변환결과가 모든이니, 양화사 종류와 술어부정 ~P를 제외한 나머지 부분 “만족시키지 않는다”를 부정하면

모든 정수 k는 $ZihrLTEpZihrKzEpXGdlcSAw$ 을 만족시킨다.

이제 동치조건이 만들어져서 문제를 더 쉽게 해석할 수 있게 되었네요.

아 물론 1등급분들은 바로 ‘부등식 만족시키는 k가 없다고? 그럼 반대로 모든 k가 부등호 바꾼 새로운 부등식을 만족시키겠네?“ 하고 딸깍할거 알고있습니다 하지만 이 규칙은 좀 더 보편적으로 일관되게 적용할수있는 논리학적 추론방법임니다

예시 하나만 더 봅시다.

모든 실수 알파, 리미트 값 존재한다가 술어죠. 나머지 부분은 없네요. 그럼 마지막에 부정할때 주어의 양화사를 부정시키면 되겠습니다.

특이하게 술어에 존재양화사가 포함돼있는데, 이때는 역시 3번 단계처럼 양화사의 종류를 바꾸지 않고 그냥 부정만 시키면 됩니다.

그럼 리미트값이 존재하지 않는다는게 ~P 이겟죠

양화사 전환을 적용하면

$XGxpbcQEaXRzX3t4IFx0byBcYWxwaGF9XGZyYWN7ZigyeCsxKX17Zih4KX0=$ 의 값이 존재하지 않도록 하는 (즉 극한이 수렴하지 않고 발산하도록 만드는) 실수 알파는 존재하지 않는다“

아 그러면 “알파가 실근일 때 2알파+1이 실근이 아닌 상황이 발생하면 안되겠구나”

그러면 알파가 실근일 때 2알파+1도 반드시 실근이어야겠구나 그런 상황을 만족시키는 알파는 뭐가 있을까

이렇게 귀결되는거죠. 물론 양화사 전환을 안쓰고도 “알파가 실근일 때 2알파+1도 반드시 실근이어야겠구나”를 바로 떠올리는 데에 특별한 문제는 없겠지만 좀 더 어려운 상황이 나왔을 때 분명 24수능 22번처럼 유리해지는 경우가 있습니다

주로 “뭐가 아니다, 뭐가 존재하지 않는다” 꼴의 명제나 문장조건을 양화사 전환을 적용하면 해석이 쉬워지는 경우가 많습니다.

자 이제 당신은 수학 실전개념과 수특 독서 11+75쪽의 술어논리/정언삼단논증 연계학습까지 가져가셨다는사실 ㄷㄷ

OKASHII · Accepted Answer

좋은 팁이네요 감사합니다

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