2023 22번 풀이(원식을 유지하면서 풀기)

Question

2023 수능 22번 풀이 (원식을 유지한 구조적 해석)

주어진 식은

f'(g(x))(x-1) = f(x) - f(1)

이다.

이 식을 굳이 (x-1)로 나누지 않고 그대로 해석한다.

우변 f(x)-f(1)은 x=1에서 x까지의 함수값 변화량이고,
좌변은 어떤 실수값 f'(g(x))에 수평 거리 (x-1)을 곱한 형태이다.

즉 임의의 x에 대하여,
점 (1, f(1))에서 출발하여 기울기 f'(g(x))를 가지는 직선 위에
점 (x, f(x))가 놓여 있다고 볼 수 있다.

다시 말해,
점 (1, f(1))과 점 (x, f(x))를 잇는 직선의 기울기가
f'(g(x))라는 의미이다.

이제 f(x)는 최고차항 계수가 1인 삼차함수이므로

f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c

라고 둘 수 있다.

따라서 도함수는

f'(x) = 3x^2 + 2ax + b

가 되며, 이는 이차함수이다.

즉 f'(g(x))는 x에 따라 변하는 실수값이지만,
항상 이 이차함수의 값의 범위 안에 존재한다.

한편 f(x)-f(1)은 삼차함수에서 특정 함수값을 뺀 것이므로
반드시 (x-1)을 인수로 가진다.

즉

f(x) - f(1) = (x-1)Q(x)

라고 쓸 수 있고,
여기서 Q(x)는 이차식이다.

이를 원래 식에 대입하면

f'(g(x))(x-1) = (x-1)Q(x)

가 된다.

따라서 x≠1인 경우

f'(g(x)) = Q(x)

를 얻는다.

즉 문제는 결국
도함수 f'(t)라는 이차함수의 함수값이
또 다른 이차식 Q(x)와 항상 일치하도록 하는
g(x)의 구조를 추론하는 문제로 볼 수 있다.

이때 min g(x)=5/2 조건을 이용하면
도함수의 대칭성과 최소값 구조를 통해
g(1) 및 함수식을 결정할 수 있다.

이후 주어진 조건 f(0)=-3, f(g(1))=6을 이용하여
함수식을 확정하면

f(4)=13

을 얻는다.

핵심 아이디어:
평균값정리의 이름에 기대지 않고,
원식을 “변화량 = 기울기 × 거리”의 구조로 직접 해석하는 방식으로 풀 수 있다.

겸양식사 · Accepted Answer

쿠쿠리가 님정도 능지만 됐어도…

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