[230615] 주기관련 수열
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한 5년전.. 다른 카페에 올렸던 글인데 좋은거 같아서 공유합니다.
먼저 풀이를 작성해 보면
1/k+1 과 1/k 를 번갈아 더하고 빼는 사건이 있다고 했을때
21의 약수 중 홀수인 값 (단 1은 제외) 만큼 시행했을때 처음으로 0이 되면 된다.
따라서 3,7,21번 만큼 시행하면 되므로 k=1,3,10 이 정답이 된다.
대부분의 15번으로 나오는 수열의 귀납적정의 단원 문제는 언제 처음으로 주기에 진입하는지가 핵심입니다.
따라서 무작정 나열을 하기전에 먼저 반드시 주기성(물론 정확히 주기성이 아니라 규칙성일수도있음)가 있을거라고 믿고 언제 처음 그 미지의 주기에 진입하는지를 생각해봐야 됩니다.
결국 한번 주기에 진입하면 그 뒤로는 어차피 주기대로 따라가면 되니까요.
가장 중요한건 계속 방황하던 이 수열이라는 친구가 언제 처음 정신차리고 주기에 진입하는지 찾아야됩니다.
하지만 작년 6월 15번 문제는 주기진입시점을 아예줘버리면서 주기의 길이만 찾으면 되는 의외로 간단한? 문제입니다.
결국 0 에서 시작하여 언제 다시 0이 되는지에만 집중하면 됩니다.
먼저 조건을 잘 분석을 해보면 아래의 그림과 같이 0에서 시작해서 오른쪽으로 1/k+1 만큼 갔다가 왼쪽으로 다시 1/k 만큼 갑니다.
발문의 조건때문에 당연히 원점을 기준으로 왼쪽에 있는지 오른쪽에 있는지를 확인하게 되는데 그 과정에서 1/k+1<1/k 를 확인하게 되어 반드시 왼쪽에 있다는것을 알게됩니다.
발문의 조건때문에 당연히 원점을 기준으로 왼쪽에 있는지 오른쪽에 있는지를 확인하게 되는데 그 과정에서 1/k+1<1/k 를 확인하게 되어 반드시 왼쪽에 있다는것을 알게됩니다.
또한 1이상의 자연수k 에서 - 1/k+1 +1/k <= 1/k+1 이기 때문에 다시 더하는 시행을 했을때 무조건 0이상인 지점에 위치한다는것을 알 수 있습니다.
따라서 무조건 다시 1/k+1 을 더하는 시점 즉 홀수번 시행한 시점에서만 0이 될 가능성이 있는거죠.
그렇기 때문에 그 홀수번 시행횟수를 2m+1 이라고 했을때
m+1/k+1 - m/k 가 성립해야되고 (m+1번 더하고 m번 빼면 되니까..) 우리가 구하는 k는 곧 m의 값과 같습니다.
자 이제 주기의 특징을 찾았으니 주기의 길이만 찾으면 끝납니다.
a_1=a_22=0 이므로 따라서 주기의 길이가 21의 약수인 홀수가 되면됩니다. 그래서 2k+1= 3,7,21
k=1,3,10이 됩니다.
대부분 고난도 수열문제의 핵심은 주기진입타이밍이 핵심입니다.
그 타이밍을 찾는데만 집중하면 보통 쉽게 풀립니다.
이 문제 같은 경우는 진입타이밍 자체를 줘버려서 더욱 쉬운 문제가 되구요... 물론 주기의 특징을 해석해야되긴하지만
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