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Art149 [488828] · MS 2014 · 쪽지

2026-03-22 16:18:53
조회수 3,790

[칼럼] 수학 문제를 대하는 태도

게시글 주소: https://orbi.kr/00077975282



안녕하세요.  Art149입니다.


이번 칼럼에선

수학 문제를 대하는 태도에 대해 설명드리려고 합니다.


제가 거의 10년째 수학 수업을 하면서

항상 가장 먼저 강조하는 내용입니다.


수학 문제를 대하는 태도 3가지를 하나씩 살펴보겠습니다.

글로 보셔도 좋은데, 영상으로 먼저 보는 것을 더 추천드립니다.








1. 조건 파악

 

조건을 있는 그대로 꼼꼼히 파악하는 건 너무 당연한 얘기겠죠?

문제에서 준 조건들은 써먹으라고 준 거니까, 누락 없이 파악하셔야 됩니다.


그런데 사실 누락 없이 조건을 파악하는 게 쉽지는 않아요.

여러 이유가 있지만, 대표적인 건 조건을 해석하는 것 자체가 어려운 경우입니다.


- 딱 봤을 때 "이게 뭐라는 거지?" 이런 느낌을 주는 조건들도 있고,

- 조건들을 결합해서 의미를 찾아내야 할 수도 있어요.

- 수식을 그래프로 해석해야 할 수도 있고,

- 반대로 그래프를 식으로 표현해야 할 수도 있죠.

- 또 겉보기엔 단순한 조건인데, 하나의 조건이 여러 의미를 담고 있을 수도 있어요.


이렇게만 말하면 좀 뜬구름 잡는 느낌이 들잖아요?

이따가 문제를 풀면서 더 설명드릴게요.


일단은 "누락 없이 조건들을 사용하는 것이 중요하다" 

이 정도로만 이해해도 괜찮습니다.

 


 

2. 왜 이렇게 풀어야 되는지 생각하기


어떤 문제를 푸는 알고리즘이 A → B → C → D 순서로 이루어져 있다고 해볼게요.

그냥 A를 보고 이것저것 다 해보다가 어쩌다 답인 D가 나왔다.

이렇게 푸는 게 아니라,

"내가 최종적으로 구해야 하는 게 D인데, 이걸 구하려면 C를 구해야 되겠구나.

C를 구하려면 B를 구해야 하니까, A를 통해서 B를 구하면 되겠네."

이렇게 거꾸로, 내가 뭘 구해야 하는지를 먼저 파악하고

그에 맞춰서 풀이 방향을 잡아보는 겁니다.




 

쉬운 문제로 이해해볼게요.

x² + x − 12 = 0이라는 조건이 있고, 

구하는 것이 두 실근의 합이라고 해봅시다.


A. 인수분해로 두 근의 합을 구할 수도 있고,

B. 근과 계수와의 관계를 이용할 수도 있습니다.



이때, 내가 구하는 것이 "두 근의 합"이라는 걸 확인하면

그냥 근과 계수와의 관계만 쓰면 되니까,

풀이 방향을 단축시키고 확정시킬 수 있습니다.


반면에 "양수인 근을 구해라" 이렇게 나오면,

이번엔 인수분해를 해야 되겠죠.

이렇게 쉬운 문제에서도 결론을 확인하는 것만으로 풀이가 간결해지는데,

복잡한 문제일수록 그 차이가 더 커집니다.

 

이제 예시 문제를 하나 풀어볼게요.

예시 문제 — 19학년도 수능 나형 21번

 



웬만하면 문제를 혼자 풀어보고 계속 읽는 것을 추천합니다.

 

풀어보셨나요?



제일 먼저 확인해야 되는 게 뭐라고 했죠?

구해야 되는 것을 확인하는 거라고 했죠?


뒤에서부터 거꾸로 접근해봅시다.

내가 구해야 되는 것이 g(2)인데,

g(2)라는 값이 그냥 튀어나올 수도 있고,

g(x)에 x=2를 대입해서 구할 수도 있겠죠?

그런데 문제를 보니 g(x)를 구해야 될 것 같아요.





파란색 조건인 "f(1)은 자연수" 같은 조건은

f(x)를 제한시켜주는 조건이라, 풀이의 후반부에 써먹으면 될 것 같아요.



남은 조건들을 보면서, 내가 g(x)를 구해야 되니까

g(x)가 들어간 노랑 조건을 변형시켜야 되겠다.

이런 생각을 할 수 있겠죠? 노란 조건에 g(x)가 있으니까요.

그럼 이렇게 노랑 조건을 변형할 수 있습니다.






그럼 또 자연스럽게 g(x)를 알기 위해서는 f(x)를 구해야 되는구나.

이렇게 생각이 연결됩니다.


 

아직 문제를 끝까지 안 풀어보신 분은,

머리로만 생각해도 좋으니까 잠시 쭉 내리는 것을 멈추고

"그다음엔 어떻게 풀어야 되지?" 한번 생각해보세요.

 




생각해보셨나요?




내가 f(x)를 구해야 되니까,

f(x)가 들어간 조건을 써먹어야겠다.

이런 생각을 하는 게 자연스럽죠?



(가) 조건을 쓸 수도 있고 (왼쪽)

(가) 조건을 변형한 식을 쓸 수도 있습니다 (오른쪽)

둘 다 수학적 본질은 똑같아요.


왼쪽은 (가) 조건이 항등식이니까,

의미 있는 숫자를 대입하는 건 자연스러운 태도잖아요?

그래서 f(0) = 0임을 뽑아내고,

f(x)가 x를 인수로 가지고 있구나 이렇게 해석한 거고요.

오른쪽은 어차피 g(0) = 1에 담긴 의미를 다 뽑아내려면

극한식을 써야 되는구나, 이걸 아니까 그렇게 쓴 겁니다.

 

여기서 g(0) = 1이라는 것에는 두 가지 의미가 있어요.

g(0)의 함수값이 존재한다는 의미가 있고,

그 함수값이 1이다. 이렇게 두 가지입니다.


이런 조건이 정보를 2개 담고 있다는 걸

잘 알고 있었다면 오른쪽 풀이로 푸는 것도 어렵지 않았을겁니다.

이렇게 조건에 대한 이해가 풀이의 당위성을 결정하기도 합니다.


필수적인 실전개념/행동강령 등은

생각의 흐름을 어느정도 자동화해주는 역할을 하는데,

이것들에 대해서는 나중에 따로 다뤄볼게요.


함수값이 존재하기 때문에 0/0꼴이 되는 거라 x를 인수로 가지게 되는 거고,

그 함수값이 1이라서 b가 3이 되는 거죠.


이 문제 기준으로 어떤 방법이 더 좋다, 이런 건 없어요.

다만 내가 왜 이렇게 풀어야 되는지에 대한 이해를 바탕으로 문제를 풀면 된다.

이 정도로 보시면 됩니다.

 



계속 더 풀어볼게요.

g(x)가 실수 전체 집합에서 연속이니까,

x² + ax + 3의 실근이 없어야 합니다.

만약 실근이 존재한다면, 분모만 0으로 가는 부분이 생기게 되니까요.

따라서 판별식 D < 0이어야 됩니다.

그럼 a²이 12보다 작아야 되겠죠.




이제 a의 범위만 구하면 되는데,

남은 조건인 "f(1)이 자연수"를 쓰면 4 + a가 자연수니까,

a의 범위가 −3부터 3까지의 정수임을 알 수 있습니다.

g(2)의 식이 이렇게 되니까, a = 3이 되겠네요.

 

 

사고의 흐름을 다 정리해서 말로 하다 보니까 길어졌는데,

실제 실전 풀이를 보여드리면 이 정도로 쓱싹 금방 끝나거든요.



사실 3~4등급 정도만 돼도,

해설지를 보거나 해설 강의를 보면 대부분의 문제는 이해할 수 있습니다.

특히 방금 문제처럼 해설을 들으면 너무 쉬운 문제를,

처음 풀 때 제대로 풀지 못했거나

풀긴 풀었는데 어찌저찌 풀어낸 거라면 


내가 왜 이렇게 풀어야 되는지, 평소에 생각을 잘 안 하고 풀어서 그래요.

 

그러니까 무작정 손부터 움직이지 말고,

"이렇게 문제를 풀어야겠다" 이런 식으로

어느 정도 감을 잡은 뒤에 손을 움직여보세요.


이런 식으로 문제를 계속 풀다 보면,

나중에는 크게 의식하지 않아도

자동으로 풀이 방향을 잡으면서 풀게 됩니다.

 

 

3. 피드백 — 가지치기

 

마지막으로 세 번째, 피드백입니다.

해설지나 해설 강의를 볼 때의 태도이기도 하고,

복기·분석 과정의 태도입니다.

"왜 이렇게 풀어야 되는가"에 대한 생각을 피드백 과정에서 하는 겁니다.


두 번째 태도가 실전에 포커스가 맞춰져 있다면,

세 번째 태도는 분석에 포커스가 맞춰져 있습니다.

 

피드백의 핵심 이미지는  가지치기입니다.


안 되는 풀이는 쳐내고,

되긴 하지만 비효율적인 풀이도 쳐내고,

가능한 풀이 중에서 좋은 풀이들을 골라내는 거예요.



 




우리가 A를 통해서 C를 구해야 된다고 생각해봅시다.

그런데 A 조건을 딱 보니까

시도해볼 수 있는 풀이 방법이 3개가 떠올랐다고 해볼게요.





실전에서는 B1으로 풀어서 틀렸어요.


그런데 해설을 보니까 B2로 진행을 했어요.

해설 보니까 이해도 아주 잘 됩니다.


특히 강의력이 좋은 선생님의 강의를 볼 때,

"와 이 선생님 강의력 대박이네. 완전 쉽게 이해된다."

이렇게 공부를 끝내는 경우가 많아요.



근데 여기서 공부를 끝내면 안 됩니다.

여기서 공부를 끝내면 다음에 또 B1으로 풀어서 틀려요.



"왜 해설에서는 굳이 B2로 진행을 했을까?

B1, B3로는 문제를 풀 수 없는 걸까?"

이런 고민을 해보셔야 됩니다.


 

고민을 해보니까 b1은 잘못된 생각이었어요.

그럼 "내가 왜 b1으로 생각했을까?

앞으로 이런 생각을 안 하려면 어떻게 해야 될까?"

이런 고민을 하셔야 됩니다.





오개념이 있었을 수도, 실전 개념의 부족일 수도 있고,

조건 간 연결을 제대로 못했을 수도 있겠죠.

뭐가 됐든, 이런 생각을 해서 고쳐야 다음에 이런 상황에서 B1을 떠올리지 않아요.





B3는 풀어보니까 답이 나왔어요.

그런데 문제 해결 과정이 B2에 비해 과하게 복잡했고,

일반적인 틀로 푼 것도 아닌 것 같아서 비효율적인 풀이라고 생각했어요.

그럼 실전에서 B2로 풀기 위해,

B1이나 B3로 가지 않고 B2로 가야 되는 이유를 찾아야 됩니다.



 


이런 식으로 피드백 단계에서 가지치기를 하시면 됩니다.

여기까지 해내야 문제가 변형되어도 풀 수 있는 힘이 생깁니다.

 

실전에서는 모든 풀이 방향, 모든 케이스를

다 분석하듯 점검할 필요는 없고, 그렇게 할 수도 없습니다.

실전에선 정해진 시간 내에

정답을 구할 가능성이 가장 높아 보이는 방향을 따라서 풀면 되는 거니까요.

그런데 피드백 과정에서는 이런 식으로 분석을 하는 것이 좋아요.

 


 

마무리

 

여기까지 수학 문제를 대하는 태도 세 가지였습니다.

사실 제일 중요한 태도는 두 번째입니다.

실전에서 잘 푸는 게 중요하니까요.


그리고 분석하는 과정에서,

사고 흐름을 혼자 1부터 100까지 만든다고 생각하지 말고

좋은 강의, 좋은 해설들을 적극 참고해서 뼈대를 만들면

이렇게 사고하는 것이 더 쉬워질 겁니다.


 

사실 하고 싶은 말이 더 많았는데 적당히 조절했습니다ㅎㅎ

조만간 수학 문제를 보는 태도의 심화 버전을 조금씩 풀어서 더 올려볼게요.


조건 해석에 대한 더 깊은 얘기들

구하는 것을 확인해도 풀이 방향이 안 보일땐 어떻게 하는지

피드백 가지치기 과정에서 주의할 점 등등.




구독 / 좋아요 / 댓글은 언제나 힘이 됩니다.

감사합니다.

 

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