28세에 세기의 난제 푼 팔팅스, 수학 노벨상 '아벨상' 품다

Question

'수학계 노벨상'으로 불리는 아벨상의 올해 주인공은 게르트 팔팅스 독일 막스플랑크 수학연구소 명예소장에게 돌아갔다.

노르웨이 과학한림원과 아벨상위원회는 "산술기하학에 강력한 도구들을 도입하고 수학자 루이 모델과 세르주 랑의 오래된 디오판토스 추측들을 해결한 공로"로 팔팅스 명예소장을 2026년 아벨상 수상자로 선정했다고 19일(현지시간) 밝혔다.

아벨상은 노르웨이 수학자 닐스 헨리크 아벨의 이름을 딴 상으로 노르웨이 정부 기금으로 조성된다. 매년 뛰어난 수학자에게 수여하며 노벨상을 직접적으로 모델로 삼아 2003년 제정됐다. 상금은 750만 노르웨이크로네(약 11억7200만원)이다.

헬게 홀덴 아벨상위원회 위원장은 "팔팅스 명예소장의 업적은 기하학적·산술적 관점을 통합하며 깊은 구조적 통찰의 힘을 잘 보여준다"며 "결정적인 단 하나의 결과가 있었던 것이 아니라 오랜 연구 경력에 걸친 누적된 업적 전체가 중요했다. 물론 모델 추측의 증명이 그 최정점에 있다"고 덧붙였다.

김민형 영국 에든버러 국제수리과학연구소장은 "20세기 말 정수론 최대의 거장"으로 평가하며 "추상적인 기하학적 도구를 방정식 풀이 같은 구체적인 문제에 도입함으로써 개념적 깊이의 위력을 가장 훌륭하게 과시한 인물"이라고 말했다. 아울러 "페르마의 마지막 정리를 증명한 앤드류 와일스가 가장 존경한 수학자로 알고 있다"고 덧붙였다.

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수학에서 가장 오래된 분야 중 하나는 정수해를 구하는 방정식인 디오판토스 방정식이다. 피타고라스 정리(x²+y²=z²)가 대표적 예로 3²+4²=5²처럼 정수해가 무한히 많다. 현대수학에서는 문제의 구조를 이해하기 위해 유리수 해까지 확장해 연구한다.

그런데 방정식의 차수가 높아질수록 해의 개수는 급격히 줄어든다. 1922년 영국 수학자 루이 모델은 차수 4 이상의 고차 곡선 위에 유리점(유리수 좌표를 갖는 점)이 유한 개뿐이라는 가설을 제시했다. 이것이 '모델 추측'이다. 수학계의 핵심 난제로 꼽혀 온 이 추측은 이후 60년간 아무도 풀지 못했다.

이승재 인천대 수학과 교수는 "팔팅스 명예소장을 큰 틀에서 보면 '유리수 방정식이 언제 유한개의 유리수 해를 갖는가'라는 문제를 기하학적 관점과 연결해 해결한 수학자"라며 "주어진 정수 방정식이 언제 유한한 유리해만 갖는지를 방정식이 그리는 곡선의 형태인 종수(genus)와 연관지어 푼 산술기하학의 대가"라고 설명했다.

팔팅스 명예소장은 1983년 이 난제를 증명하며 하룻밤 사이에 세계적 수학자로 떠올랐다. 처음부터 이 추측을 풀겠다는 목표를 세운 것이 아니었다. 연구하다 보니 풀게 된 것이었다.

팔팅스 명예소장은 동아사이언스와의 인터뷰에서 "정말 기뻤지만 모든 것이 올바르게 증명됐는지 불안하기도 했다"며 "갑자기 유명해지는 것은 묘한 경험이었다"고 당시를 회고했다. 이 증명은 '팔팅스 정리'로 불리게 됐다.

팔팅스 정리의 파급력은 컸다. 1995년 앤드루 와일스 영국 옥스퍼드대 교수가 358년간 미해결이었던 '페르마의 마지막 정리'를 증명할 때도 팔팅스 정리가 중요한 선행연구로 작용했다. 페르마의 마지막 정리는 n이 2보다 클 때 xⁿ+yⁿ=zⁿ을 만족하는 자연수 해가 존재하지 않는다는 것으로 17세기 프랑스 수학자 피에르 드 페르마가 제기한 미해결 난제였다.

김완수 KAIST 수리과학부 교수는 "산술기하학은 유리수를 변수로 갖는 다항식의 해들이 만드는 공간의 기하학을 연구함으로써 정수론의 결과를 이끌어내는 분야"라며 "팔팅스 명예소장은 현대 산술기하학의 현재 모습을 이룰 수 있게 한 기반을 닦은 분"이라고 말했다.

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정수론에서 모델 추측은 모델(1922)이 제시한 추측으로, 유리수체 Q 위에서 정의된 1보다 큰 종수를 갖는 곡선은 유한 개의 유리점밖에 갖지 않는다는 추측이다. 후에 이 추측은 Q를 임의의 수체로 치환한 추측으로 일반화되었다. 이 추측은 게르트 팔팅스(1983)에 의해 증명되었기 때문에, 팔팅스 정리로 알려져 있다.

배경
C를 Q 위의 종수 g의 비특이 대수 곡선이라고 하면, C의 유리점의 집합은 다음과 같이 결정할 수 있다.
- g=0인 경우: 유리점이 존재하지 않거나, 무한 개 존재한다: C는 원뿔곡선이다.
- g=1인 경우: 유리점이 존재하지 않거나, C가 타원곡선으로, 유리점이 유한생성 아벨군을 이룬다. 
- g>1인 경우: 팔팅스 정리(모델 추측)에 해당한다. C는 유한 개의 유리점밖에 갖지 않는다.

증명
팔팅스의 원래 증명은 테이트 추측의 이미 알려진 경우로 귀결시키는 것과 함께 네론(Néron) 모델의 이론을 포함한 대수기하학의 많은 도구를 사용하는 것이었다. 디오판토스 근사를 기초로 하는 전혀 다른 증명은 Paul Vojta에 의해 얻어졌다. 게다가 Vojta의 증명의 초등적 증명은 엔리코 봄비에리(1974년 필즈상)가 하였다.

결론
1983년 팔팅스의 논문에서는 그 이전에 제시된 많은 추측의 결과로서 얻어졌다.
- 모델 추측: 수체 위의 종수가 1보다도 큰 곡선은 유한 개의 유리점밖에 갖지 않는다.
- 샤파레비치 추측: 정해진 차원의 정해진 수체 위의 편극차수를 갖는 정해진 유한 개의 place의 유한집합의 바깥에서는 good reduction을 갖는 아벨 다양체의 동형류는 유한 개밖에 존재하지 않는다.
- 동종 정리(Isogeny theorem): 동형 테이트 가군을 (갈루아 작용, Ql-가군으로서) 갖는 아벨 다양체는 동종이다.
모델 추측은 Parshin(1971)에 의해 샤파레비치 추측으로 귀결되었다. 팔팅스 정리의 응용의 예로 페르마의 마지막 정리의 약한 형태가 있다. 정해진 n>4에 대해 a^n + b^n = c^n에는 유한 개의 정수해밖에 존재하지 않는다. 왜냐하면 n에 대해 곡선 x^n + y^n = 1은 종수가 1보다 크기 때문이다.


- 위키백과 팔팅스 정리 항목

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아벨상 수상 이유: 산술기하학에 강력한 도구들을 도입하고 수학자 루이 모델과 세르주 랑의 오래된 디오판토스 추측들을 해결한 공로

1986년 필즈상 수상

올5200일미적과탐전사 · Answer

오 지린다

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