[필독] 새로운 쿠쿠리 집합론
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철수 ∈ 1반 ∈ 학교
라고하면 "철수 ∈ 학교" 는 성립안함
이건 인간의 직관에 반함
따라서
철수 ⊆ 1반 ⊆ 학교
이렇게 표현할거임 모든 원소의 포함표기를 부분집합의 포함표기를 쓸것임
즉,
∈를 버리고 ⊆를 씀
이 러셀의 역설을 쿠쿠리 집합론에 적용시 모순이 생기는가 보겠음
u ⊆ X <-> u ⊄ u
자기자신을 부분집합으로 포함하지않는 집합은 없음, 왜냐하면 모든 집합은 자기자신을 부분집합으로 가지기 때문임
따라서 u는 존재하지 않음.
존재하지 않는 u는 X의 부분집합이 될수가 없음
따라서
u ⊆ X <-> u ⊄ u
의 우변이 거짓이고, 좌변도 거짓이라서 동치가 성립하고 러셀의 모순은 해결됨..
요약
1. 원소란 개념을 없애고, 모든것이 집합임
2. 기존의 원소포함관계기호 ∈를 부분집합포함관계기호 ⊆로 대체함
3. 러셀의 역설 해결성공
4. 철수 ∈ 학교라는 인간의 전이성에 대한 직관을 수호함
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철수는 1반에 있다
1반은 학교에 있다
철수는 학교에 있다
수학에서 숫자 2는 집합의 원소 개수로 정의되는데 이렇게 하면 집합만 있어서 더 이상 쪼개지지 않는 기본원소가 없다는 거면 개체와 집합 지정이 불가능한 거 아님? ⊆만 사용하면, "1반에 학생이 30명 있다"라는 것을 수학적으로 증명하거나 표기할 수 없는듯. 1반이라는 거대한 덩어리 안에 철수가 있다는 것은 알지만, 그 덩어리가 정확히 몇 개의 독립된 부분으로 나뉘는지 원소의 개수를 정의할 수 없음 이러면.
그냥 1반이라는 집합에 철수,영희,길동이라는 부분집합이 존재한다고 하면안됨?
경우 A: 철수 안에 아무것도 없다면? (철수 = 공집합)
수학에서 원소가 하나도 없는 집합은 오직 하나뿐임.
만약 철수 안에 아무것도 없고, 영희 안에도 아무것도 없다면?
결과: 철수=∅, 영희=∅ 따라서 철수 = 영희.
경우 B: 철수 안에 무언가 들어있다면?
철수를 구성하는 것이 '세포'라고 칩시다. 그럼 그 '세포'도 집합이어야 함(님의 이론에 따르면 원소는 없으니까요).
그럼 세포 안에는? 분자. 분자 안에는? 원자...
반박: 이 쪼개짐이 무한히 반복되어야 함. 만약 더 이상 쪼개지지 않는 바닥(원자)이 나온다면, 그것은 집합이 아니라 '원소'의 성질을 갖게 되므로 님의 이론(모든 것은 집합이다)과 모순이 생김.
바닥이 바로 공집합아닐까요?
수학에서는 외연성 공리라는게 있는데 "두 집합이 가지고 있는 원소(내용물)가 똑같다면, 두 집합은 완벽하게 같은 존재이다."임. 그럼 님 말대로 바닥이 공집합이면 철수=영희가 확정됨
공집합은 내용물(원소)가 없잖아요
현실세계의 빈상자와 공집합은 엄밀히 말해 다른 거임. 철수라는 공집합과 영희라는 공집합은 구별 불가능함. 수학에서 집합은 ‘철수’ ‘영희’라는 라벨이 붙어있지 않음. 그를 위해 철수와 영희라는 라벨을 붙이면 문제는 더 심각해짐. ‘철수 안에 있는 무언가가, 영희 안에도 있는가?’라고 물었을 때 철수 안에는 원소가 없으므로 공허 참에 의해 ‘철수 ⊆ 영희’는 참이고 그 역도 참임. 라벨을 붙이려 해도 어쩔 수 없이 포함관계 논리 때문에 둘은 같게 됨.
외연공리에 따르면
임의의 두 집합 A,B 에 속한 원소가 같으면 두 집합이 같다
라는데
공집합은 원소가 없으니 같다고 할수 없는거아님??
똑같은말 해서 죄송함..
외연 공리의 수학적 정의를 정확히 보죠.
"모든 x에 대하여, (x∈A⟺x∈B)가 참이면, A=B 이다."
세상에 있는 아무 원소 x를 가져와서 테스트를 돌려봅니다.
좌변 (x∈A): "x가 공집합 A에 들어있는가?" → 거짓(False) (비어있으니까)
우변도 마찬가지
F⟺F는 논리학에서 참. 진리값이 일치됨
따라서 외연 공리에 의해 A=B라는 결론이 도출됨
그리고 공집합 끼리는 애초에 서로 구별도 못하고요
사실 스타니스와프 레시니에프스키라는 논리학자가 님과 똑같은 생각을 했음 대단한 거임
바닥이 공집합이면 철수=영희,
대우명제는
철수=/=영희이면 바닥이 공집합 아님
바닥이 공집합이 아니란건... 뭘의미하는거죠?
진정한 원소가 있다는건가요?
아니요 그건 아니고 바닥이 공집합이 아니라는 것 자체가 문제가 있고 바닥을 가정하면 그게 공집합일 수 밖에 없는데 공집합은 모두 동일하므로 문제가 발생한다는 거예요
그럼 바닥이 없다는건가요?
정확히 말하면 애당초 바닥을 가정할 수 밖에 없게 만드는 님의 집합론에 논리적 문제가 생길 수 있다는 것을 나타내기 위한 표현이었어요. ZFC 공리계에서는 그럴 필요가 없거든요
바닥이 공집합이 맞다고하면..
철수도 공집합으로 이루어져 있고 영희도 공집합으로 이루어져있어서
결국 철수와 영희가 같다는거 맞나요?
하지만.. 우리가 원자로 이루어졌다고해서 철수와 영희가 같지는 않잖아요
ㄴㄴ 그 소리가 아님. 우리가 좀 먼 곳을 돌아와서 그런데 이거의 결론은 그냥 공집합은 모두 서로 같은 집합이며 ‘철수’와 ’영희‘를 집합으로 간주한다면 공집합으로 나타나야 한다는 거임. 근데 그럴 수가 없다는 거. 철수=영희 일 수 없으니까
예를들어 10개의 똑같은 레고블럭으로 누구는 다리를 만들고 누구는 차를 만드는데,
두 구조물 전부 똑같은 레고블럭으로 이뤄져있으니 같은 구조물이다, 는 아니잖음
마즘 근데 그 뜻이 아니라, 철수와 영희를 공집합이라고 할 경우 철수=영희가 되버린다는 것임
그럼 철수와 영희는 단순히 공집합인게 아닌거아님?
그건 맞음. 근데 님이 공집합이 아닌 라벨이 붙은 ‘무언가’라고 철수와 영희를 각각 집합으로 정의하더라도 여전히 문제가 발생함
더 정확히는 철수와 영희를 정확히 ‘무슨 집합’으로 정의하는지에 따라 문제가 발생한다는 거임 그 집합의 구조를 명확화하지 않으면 문제가 발생함
똑같은 얘기해서 죄송한데,
레고블럭=공집합 이라고 가정하고,
그 레고블럭(공집합)으로 구조물을 만든다고 하면안됨?
사실 공집합은 딱딱한 레고 블럭으로 비유할 수 없고 그냥 물방울처럼 생각해야 하는데 공집합을 쌓아올려도 그냥 공집합임.
0 = ∅
1 = {∅}
2 = {∅, {∅}}
3 = {∅, {∅}, {∅,{∅}}}
이런걸 할려면 원소포함관계기호 ∈가 필수임?
넹 그렇게 하면 그냥 원소론을 부활시킨거예요
제 주장을 유지하면서 공집합으로 뭔가 구조를 만드는 방법은 없을까요?
메레올로지라는 이론이 있음. 부분론이라고 하는데 "~는 ~의 부분이다“라고 ‘선언’함으로써 집합이라는 개념을 포기하는 공리계로 가능함. 이럼 근데 쿠쿠리 집합론이 아니라 쿠쿠리 부분론임. 아니면 그래프 이론을 이용해서 대응관계로 설명하는 것도 가능할 듯. 내용물이 없는 '점(Node)'과 그 점들을 잇는 '선(Edge)'으로 세상을 표현하면 됨. 님의 이론이 문제 되는 까닭은 어쩔 수 없이 원래 사용하던 기호가 부분집합의 원소에 의존하기 때문에 기호를 새롭게 정의하는 공리계가 아니고서야 논리적으로 가능하지 않음
그런데 수학자들이 님처럼 안 하는 이유가 있음. 님의 방식은 직관을 지키는 대신 숫자라는 개념을 만들기 매우 난해하거나 불가능함. 그래서 ZFC는 다른 방식으로 러셀의 역설을 해결하는 거임
더이상의 부분이 존재하지않는 가장 작은 부분으로 철수와 영희를 만든다면, 어떻게 가장 작은부분을 사용해야하나요?
그걸 밝히려는 시도가 항상 문제를 야기함. 예를 들어 메레올로지적 아톰을 만들 수 있음. ‘자기 자신 외에는 어떠한 진부분(Proper Part)도 갖지 않는 존재‘의 형태로. 근데 이러면 ‘공집합’에 라벨을 씌우려는 시도고 이건 "철수 ⊆ 영희"와 "영희 ⊆ 철수"가 모두 참이 되어버려, 결국 철수 = 영희라는 모순으로 귀결됨. 이것도 공허참의 문제 때문에 메레올로지적 아톰을 만들 수 없음. 왜냐하면 ‘그래서 이 아톰들은 뭐로 만드나요?’라는 질문에 답할 수 없기 때문임.
또는 집합론적 아톰을 만들 수도 있는데 그건 그냥 집합론으로 회귀하는 거고
제가 답답하게 말해서 죄송합니다.
아톰으로 구성된게 철수와 영희인데 어떻게 철수와 영희는 구분되나요?
철수와 영희 자체가 아톰입니다.
아톰은 내용물이 없고, 서로 다름이 전제되는 ‘원소’에 해당합니다
사실 그렇게 들어가면 이제 ZFC 나 ZFA에서 선택하게 되는 거겠죠
제가 계속 답답한 소리해서 죄송한데요.
똑같은 모양의 레고블럭 10개가 있으면 이 레고블럭 한개를 아톰이라 부를수 있는거 아닌가요?
그렇다면 10개의 레고블럭으로 만든 자동차와 시소가 같지않은 이유는 뭔가요?
위치차이인가요? 위치라는 개념을 그 "아톰"으로 만들수 있어야할거같은데
결론부터 말씀드리면, 자동차와 시소가 다른 이유는 구조 때문임. 수학자들은 그 '구조'를 표현하기 위해 순서쌍을 만들었음. (A,B)와 (B,A)는 같지 않아요. 단 한 종류의 블럭. 즉, 공집합으로 짝공리, 합집합 공리, 멱집합 공리 같은 걸로 순서쌍, 함수, 구조, 공간들을 발명해내는 겁니다. 그게 ZFC 공리계에요
저는 그 구조가 위치라고 생각하고
위치는 좌표고, 좌표는 순서쌍이고, 순서쌍이 기본인거같음...
그러니까 제 말은 집합이 아니라 순서쌍이 더 근본적인거같음..
음.. 그렇게 볼 수는 있죠. 근데 실제 수학자들은 집합이 순서쌍보다 더 근본적이라고 봤어요. {a,b}={b,a}지만 (a,b)=(b,a)가 아니니까요. 근데 님 어쩌다가 이렇게 깊게 들어옴? ㅋㅋ
님하고 대화했더니 일케됨
ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
근데 저도 전문가 아니라 잘 모름. 그거 대학교 다니시면 교수님한테 물어보면 더 빠르지 않을까요?
대학다니는 중이 아니라서요
그럼 슬프긴 하네요. 독학 해야 할 듯 ㅇㅇ 전 수험생이라 더 깊이는 몰루요 ㅋㅋ
정말 엄청나게 감사함.. 오늘대화..
도움 되셨다면 다행임. 근데 내 말에 오류 있을 수도 있음 삼수생따리라;;또물어서 죄송한데요
만약 공집합A가 "기준점으로부터 2cm우측에 존재하는것" 집합의 부분집합이고, 공집합B가 "기준점으로부터 2cm좌측에 존재하는것"집합의 부분집합이라면,
공집합A와 공집합B는 같은 공집합인데
속한 집합이 저렇게 다르면 어떻게되나요?
'1반'이라는 집합의 정의가 달라져서 아닌가여
쿠쿠리 갈수록 똑똑해지네. 그래 너 그렇게 계속 살아 잘하고 이씀
맨 윗 줄 1반이 집합이기에 부분집합 기호 써야 해서 표기가 애초에 잘못된거같아요
아 학교가 집합의 집합이라고 설명하고 싶으신건가
이건 집합론의 문제라기보다는 일상언어에서 “포함한다”는 단어가 애매어라서 생기는 문제인 것 같습니다.