[오류있는 자작문항] 정수조건 활용으로 다항함수 해체하기

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몇 시간 전에 올렸던 문제인데 어떤 분께서 오류를 지적해주셔서 실제로 활용하지는 못하게 된 문제입니다.

근데 해당 문제에 나름 공들인 노력이 있는데 이게 허무하게 날아가는 것보단 제가 의도했던 출제 의도라도 적어보려고 합니다.

우선 '두 다항함수 f(x), g(x)' 라는 조건들에서 구간별로 정의된 함수인 g(x)가 다항함수임을 인식할 수 있습니다(230614 기출 문제 아이디어)

그렇기에 f'(x)와 f(x)에 분모에 해당하는 인수가 있어야 함도 유추할 수 있겠고요. 거기서 더 나아가 g(x)가 다항함수라면 분모가 0이 되는 순간을 잠시 무시하고 위의 식과 아래의 식이 아예 동일해야 함도 인지할 수 있습니다.

더 나아가기 전에 잠시 a를 구해보자면 x>a 에선x-4가 분모에 있기에 분모가 0이 되는 x값, 4가 해당 범위에 포함되지 않기 위해선 a>=4 라는 조건이 필요합니다. 동일한 논리로 아래의 함수식에서는 a<5라는 범위가 구해지고요.

자연수 조건에 의해 a=4입니다.

다시 g(x) 추론으로 돌아옵시다. 위의 식과 아래 식이 같다는 조건, g(x)가 다항함수라는 조건을 활용하면 항등식 비교를 할 수 있겠고 결과적으로 f(x)는 삼차함수일 때 두 식이 항등식이 될 수 있습니다.(최고차항의 계수비교)

추가적으로 g(x)는 이차함수인 사실도 알 수 있겠고요.

항등식 비교를 더 진행하면 결과적으로.

f(x)=k(x-5)(x-b)(x-c) (k는 최고차항의 미지수 계수, c는 f(x)의 모르는 실근)

f'(x)=3k(x-4)(x-c)

위와 같은 결론들을 얻습니다.

이때 인수개수 논리도 괜찮고, 나머지 정리를 떠올려도 좋은데 f'(x)와 f(x)가 같은 근을 가진다는 건(여기서는 c가 되겠죠.)원함수인 f(x)가 (x-c)의 제곱을 인수로 가진다는 결론으로 귀결됩니다.

따라서 미지수 c는 5가 아니면 b여야 하겠네요.

즉, f(x)=k(x-5)^2(x-b) 거나 f(x)=k(x-5)(x-b)^2 둘 중 하나갰네요.

이쯤까지 추론하면 더 이상 뽑아낼 정보가 없거나 있어도 그것은 사후적일 확률이 높기에 이제 (가) (나) 조건을 볼 차례입니다. (가) 조건을 보니 g(x)가 이차함수인데 '최소'를 가지며, 그때의 x좌표가 정수가 아니라는 사실을 알았습니다.

이는 g(x)의 최고차항 계수가 양수라는 사실임을 시사하고 f(x)의 최고차항 계수로 잡은 미지수 k가 양수라는 것까지 알 수 있겠네요.

정수가 아니다를 당장 쓰기에는 f(x)의 두 가지 경우 모두에서 근들에 대한 정보가 애매하고, 또 제약성이 강한 조건이 아니므로 (나)를 먼저 보는 게 타당해 보입니다.

(나) 조건은 구체적인 수치로 g(3)=-12 라는 값이 나와있군요.

모르는 미지수가 많은 상황이므로 이 또한 쓰기 어렵겠군요....

라고 생각하시면 안 됩니다. 분명 우리는 위에서 (가) 조건을 토대로 추론한 f(x)의 두 가지 경우가 있습니다. 그런데 f(x)=k(x-5)(x-b)^2 의 경우 분모인 x-5로 인수를 지워주고 나면 g(x)=3k(x-b)^2이 됩니다.

그런데 k도 양수, 뒤에는 제곱이므로 0이상입니다.

g(3)=-12인데, 두 번째 경우가 f(x)라면 조건과 모순인 상황이 나온다는 거죠.

따라서 f(x)=k(x-5)^2(x-b)입니다.

g(x)=3k(x-5)(x-b)로 확정되는 거죠.

여기서 잠시 위 문항의 치명적인 오류를 말씀드리면, f'(4)=0입니다. 최고차항 계수와 관련없는, 인수와만 관련있는 정보이므로 b=7/2 로 확정되는 겁니다. b를 독립변수로 생각하고 출제한 셈이죠. 제 검토의 미흡한 부분으로 해당 문제를 푼 오르비언들에게 심심한 사과를 보냅니다...

다시 출제 의도로 돌아오겠습니다. g(x)가 결정됐으니 아직 쓰지 않은 조건들로 b의 값을 결정해봐야 할 텐데, g(x)의 근이 5와 b인 상황에서 최소일 떄의 x값이 정수가 아니라면 자연수인 b는 무조건 짝수가 되야 합니다.

마지막으로 (나) 조건을 쓰면 g(3)=-12인데 b가 4이상이면 g(x)의 개형은 x=3에서 무조건 양수일 수밖에 없습니다. 따라서 b=2라는 것이 확정되는 거죠.

그렇게 마무리 계산으로 의도했던 답인 24+4=28이 나옵니다.

본 문항에서 제가 가장 의도를 전달하고자 했던 부분은 다항함수를 구간별함수로 출제되었을 때의 기본적인 태도는 미분가능성, 연속성이지만 동시에 그 둘이 항등식임을 상기하셨으면 좋겠습니다.(여기서 테일러 급수? 등으로 식을 만들 리는 없을 테니까요.)

동시에 조금 예전이지만 칼럼에서 썼던 부분인데, (나) 조건이 의미하는 바는 수치적 계산으로 쓰일 수도 있습니다. 하지만 여기에 마이너스 부호가 붙으면서 케이스 분류의 가장 큰 기준으로써 활용되어 단순 계산적 정보보다 g(x)의 개형확정 요소로써 더 크게 활용되었음을 기억하셨으면 좋겠습니다.

읽어주셔서 감사하고, 궁금한 점 등은 댓글로 남겨주시면 답글 다 달아드리겠습니다!

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감자도돌이표 · 1450288 · 02/25 23:59 · MS 2026

저도 아까 풀다가 답이 안나와서 당황스럽더라구요.
그래도 아이디어는 좋다고 생각합니다! 앞으로도 좋은 문제 만들어주세욧

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오트밀 · 1448213 · 02/26 00:15 · MS 2026 (수정됨)

앞으로도 좋은문제 ㄱㄱ

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수만보 · 1150342 · 02/26 08:00 · MS 2022

감사합니닷!

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