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구름정원 [1412859] · MS 2025 · 쪽지

2026-02-02 19:39:14
조회수 388

2025 고1 10모 수학 후기 및 해설

게시글 주소: https://orbi.kr/00077373152


안녕하십니까 이번엔 2025 고1 10월 모의고사 수학 영역 해설 및 후기로 돌아온 구름정원입니다. 고1 모의고사는 수능하고 확실히 결이 달라서 간만에 새로운 느낌이 있었네요. 함수, 도형, 확통, 행렬 등 다양한 영역을 코스요리마냥 즐길 수 있었습니다. 농담은 여기까지 하고 본론으로 이번에도 바로 넘어갈게요.


총 시간은 40분 정도 소요되었고, 전반적으로 어렵지는 않았으나 빡빡한 감은 있었던 것 같습니다. 킬러 문항이 있다기 보단, 도형 문제, 함수 문제 등으로 특징지어지는 변별 문항들이 무게를 준 것 같습니다. 행렬 곱셈 문제는 여담이지만 제가 푸는 방법을 몰라서;; 따로 빼두었다가 인터넷에서 방법을 습득하고 풀었습니다. 유익하네요 1컷 88에 만표는 151이지만 만점자는 2000명이 넘는 것 같던데, 빡빡한 문제들을 여유롭게 풀어낼 수 있는 최상위권에겐 어렵지 않은 시험이었겠지만, 중상위권에겐 마치 버거운 문제가 끝없이 이어지는 늪 같은 시험이었을 것 같습니다. 19번, 21번, 28번, 29번, 30번을 같이 살펴보도록 하겠습니다.



19번은 나머지 정리를 활용한 문제입니다. P(x)로 나눈 나머지가 P(x)+Q(x)^2이 된다는 점에서, P(x)가 2차식, Q(x)가 1차식이라는 점을 캐치한다면 비교적 쉽게 풀 수 있는 문제인 것 같습니다. 이후에는 P(x)와 Q(x) 식을 잡고, f(x)의 최고차항의 계수가 1, 나머지가 상수가 되어야 한다는 정보들을 조합하면 답을 도출해내는 데 필요한 정보를 모두 구해낼 수 있습니다.



21번은 원을 사용한 고난도 도형 문제입니다. 두 원이 원점에 대해 대칭이니, 원점에서 두 원이 공통 접선을 가져야 합니다. 이때 점 B에서 접선의 기울기가 1/2 이니, y좌표가 같고 x좌표가 원 중심에 대해 대칭인 원점에서 접선의 기울기는 -1/2가 됩니다. 그러면 선분 OA의 기울기가 2가 됩니다. 한편, 박스 내 조건은 선분 PQ가 직각삼각형의 빗변이 됨을 의미합니다. 일단 대강 P, Q를 잡게 되면, 선분 PQ의 길이가 원의 지름이 됨을 알 수 있죠. 이를 바탕으로 점 A의 좌표를 구해낼 수 있습니다. 또, 비슷하게 점 B의 좌표를 구해, 직선식을 찾을 수 있습니다. 도형 문제를 풀 때는 깔끔하게 주어진 정보를 정리하고, 조건이 어떤 정보를 함의하길래 그러한 형태로 제시되었는지 고민하는 습관이 중요합니다.



28번 문제도 원을 사용한 도형 문제입니다. 선분 AB의 내분점의 y좌표는 항상 0일 수밖에 없고 선분 CD의 내분점의 x좌표는 항상 0일 수밖에 없으니, 두 내분점이 같다면 원점이라는 것을 알 수 있습니다. 그 뒤에는 원의 반지름을 활용해 좌표로 나타내고, 그 반지름을 구해내서 도형의 넓이를 구할 수 있습니다.



29번 문제는 도형을 빙자?한 다항식 문제입니다. 아니, 정확히 말하면 뭐가 뭐를 빙자했는지 사실 잘 모르겠습니다. 도형 문제와 다항식 문제 사이 그 어딘가인 것 같습니다. 조건이 복잡하게 제시되어 있어 고도의 기하학적 아이디어나 다항식 정리 능력을 요하는 것으로 예상했는데, 생각보다 간단히 정리되는 형태로 제시되었습니다. 직육면체의 변을 문자로 잡고, 식으로 전환해 원하는 정보를 구해내면 됩니다. 직육면체에서 빗변 길이의 제곱은 가로, 세로, 높이를 제곱해 합한 것임을 기억하고 있으면 좋습니다. 발상 문제라기보단, 인내력을 가지고 과정을 따라 쭉 풀어나가면 되는 도형 문제인 것 같습니다. 그나저나 확실히 고1 모의고사는 21, 28번 등도 그렇고 도형 문제가 상당히 많네요.



30번 문제는 이번 시험지에서 가장 어려웠던 문제가 아닐까 생각합니다. 교육청스러운 복잡한 숫자와 조건, 그에 비해 높은 발상 없이 일방향적으로 풀려 나가는 과정이 전형적인 교육청 고난도 문제의 특징을 여실히 보여준다고 생각합니다. g와 f가 대충 어떤 식으로 만날지를 예상해보면서 전체적인 틀을 잡아나가는 것이 중요합니다. 모든 실근의 합이 4p+2m이려면, f의 일부하고도 2번, g의 일부하고도 2번 만나야 함을 어렵지 않게 캐치할 수 있습니다. p와 m이 양수여서 다른 경우가 되지 않음도 쉽게 생각 가능합니다. 복잡란 조건에 의해 문제가 과하게 복잡해질 것을 방지하기 위한 수단이겠지만, 오히려 풀이가 일방향적으로 통제되어버리거나, 때려 맞추기 풀이법에 취약해지는 것 같네요. 어쨌든, 실근의 합이 4p+2m이 되는 구간 범위 조건을 통해 q가 5임을 알 수 있고, g(p)가 두 함수의 교점 중 x 좌표가 큰 점의 함숫값이 됨을 이용해 m 값을 찾을 수 있게 됩니다. 마지막으로 f(m)+g(m) = -4 조건으로 m을 찾고 답을 도출해낼 수 있습니다. 정보가 복잡하게 제시되더라도, 겁 먹지 말고 차근차근 경우를 머릿속으로 떠올려 보며 정보를 하나씩 캐내는 것이 중요합니다.


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