2025 고2 10모 수학 후기 및 해설

안녕하세요 2025 고2 10모 수학 문제를 들고 온 구름정원입니다

앞으로도 이렇게 종종 수학 시험지 후기 및 해설을 진행하려고 합니다. 긴 말 없이 바로 본론으로 넘어가겠습니다.

전반적으로 풀어봤을 때는 브레이크가 없다? 라는 느낌을 좀 받았습니다. 일부 문제를 제외하고는 대부분 문제들이 평이해 막힘없이 쭉 풀어나갈 수 있었던 것 같습니다. 제가 수학을 빨리 푸는 편이긴 해도 29번까지 20분 정도에 다 풀렸고, 30번만 10분 정도 소요해 30분 내외로 전 문항이 풀렸습니다. 1컷 88에 만표는 150이지만, 굉장히 쉬운 시험이었던 것 같습니다. 따라서 20, 21, 30번 3문항 정도만 살펴보려 합니다.

20번 문항은 등비수열과 관련된 문항이었습니다. (가) 조건이 얼핏 봤을 때는 조금 꼬름해 보였는데 막상 풀어나가면 교육청스럽게 정리되는 문제였습니다. an > a1 이라는 점에서 공비가 1보다 크고 초항이 양수거나, 공비가 -1 보다 큰 음수이고 초항이 음수인 두 경우를 떠올릴 수 있습니다. 그 점을 머릿속에 일단 어렴풋이 새겨넣습니다. 뒤에 제시된 식은 형태는 좀 껄끄럽지만, 결국 저 부분이 공비라는 것을 의미합니다. a4, a5로 이루어져 있으므로 n에 왠지 5를 넣어보고 싶어지고, 실제로 넣게 되면 a4가 1임을 얻을 수 있습니다. 이후로는 초항과 공비에 대해 식을 정리해 연립하게 되면 자연히 풀리게 되고, 이때 두 경우 중 한 경우를 제하기 위해 an > a1 을 사용하면 됩니다. 비교적 꼬여서 제시된 식이라 하더라도, 큰 틀에서 식이 의미하는 바를 예상하고, 정보를 찾아내면 풀 수 있습니다.

21번은 지수함수 문항입니다. 박스 내의 조건을 자세히 생각해보면 전체 함수의 실근이 2개이고, 그 두 근의 차가 4 이하여야 함을 알 수 있습니다. 그러므로 좌우 지수함수에서 근이 하나씩 나와주고 그 근의 차가 4 이하임을 이용해 문제를 풀어가면 됩니다. 처음에는 두 근의 차가 4 이하임을 어떻게 수1 범위 내에서 활용할지 고민이 됐는데, 지수함수 꼴이 절묘하게 제시되어 두 근의 차를 a에 관한 식으로 비교적 간단히 나타낼 수 있었습니다. 지수함수가 근을 가지는 조건과, 차 조건을 결합하게 되면 답을 구할 수 있었습니다. 참고로 저는 처음 풀 때 바로 두 근의 차가 4이다라고 잡고 풀어나갔는데, 직관적으로 생각해봤을 때 4가 되는 범위 안 쪽이 4 이하가 되고, 그 범위 밖은 지수함수의 개형을 고려할 때 가파르게 근의 차가 커질 것 같았기 때문입니다. 절차에 맞춰 식을 세워가는 과정도 결국 수학적 직관 능력에 크게 의존하고, 이러한 능력을 기를 수 있도록 다양한 문제를 자신만의 방법으로 풀어보려 노력하는 과정이 중요하다 생각합니다.

30번은 수2에서 출제된 문항으로, 이번 시험지에서 가장 어려운 문항이지 않았나 생각이 듭니다. 경우나 발상 자체는 복잡하지 않은데, 특유의 교육청스러운 조건의 꼬임과 숫자가 상당히 꼬름했던 것 같습니다. g 식이 단순 평균 변화율 식이기에 h의 불연속성을 생각해본다면, t가 f의 불연속점이거나, t+k가 f의 불연속점일 때만을 유의하면 된다는 것을 알 수 있습니다. b가 양수이므로 -4에서 f가 불연속임은 자명하고, 0에서는 불연속일지 아닐지 확언할 수 없습니다. 다행인 점은 k가 4보다 크기에, -4와 0이 서로 엮이는 가능성은 배제해도 된다는 점입니다. 우선은 t+k가 -4가 될 때 h가 연속이여야 하기에, a는 4+k가 되어 f(t)를 0으로 만들어 줘야함을 알 수 있습니다. 그렇게 되면, f가 0에서 불연속이라면 t+k가 0일 때 이를 커버해줄 수 있는 t가 존재하지 않으므로, f가 0에서 연속임을 알 수 있습니다. 또한 t가 -4일때 t+k가 이를 커버해줘야 하기에, f(k-4)=b가 되고 문제에서 f(k) 또한 b라고 하였으므로, 그래프의 대칭성을 이용해 a, b, c, k 값을 모두 찾을 수 있게 됩니다. 수2 킬러문제의 경우 그래프의 개형과 가능한 경우를 추론하고, 차분히 조건을 정리하고 불가능한 경우들을 제하는 과정이 중요합니다.

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