[암산 칼럼] (스압주의) 5. 세 자릿수 곱셈부터 다섯 자릿수 곱셈까지

https://orbi.kr/00077251641

*주의: 이 칼럼의 내용은 1, 2, 3, 4번 칼럼을 *완벽히* 숙지하고 읽지 않는다면 읽어도 바보처럼 느껴질 수 있습니다.

앞선 내용들이 충분히 연습이 되어 있지 않다면 시간을 들여 체화하고 오시는 것을 추천드립니다.

들어가기에 앞서 네 자릿수 제곱부터 가볍게 보고 넘어갑시다.

쉬어가기. 네 자릿수 제곱하기

네 자릿수 제곱을 위해서는 네 자릿수 x 한 자릿수 계산만 할 줄 알면 충분합니다.

네 자릿수 x 한 자릿수 문제는 보편적으로는 두 자릿수 x 한 자릿수 문제 두 개로 쪼개서 해결합니다.

아래 예시를 보겠습니다.

위 예시에서는 3526을 (3500 + 26)으로 쪼개면 됩니다.

덧셈을 할 때에도 한 자리밖에 겹치지 않기 때문에 쉽게 할 수 있습니다.

경험담으로, 다른 방법들도 많지만 덧셈 기법을 응용하는 것이 가장 무난하고 빠른 것 같습니다.

본인만의 방법을 터득하신다면 그 방법대로 하여도 당연히 좋습니다.

저 같은 경우는 두 자릿수 x 한 자릿수 곱셈의 결과가 바로바로 떠올라서 이런 식의 방법을 택했습니다.

본격적으로 네 자릿수를 제곱해봅시다.

방법은 설명하지 않아도 아실 것이라 믿습니다. 답이 나오셨나요?

제 사고과정은 아래와 같습니다.

첫 번째 연산을 거치면 12,208이라는 숫자가 튀어나옵니다.

여기서 잠깐 생각해봅시다.

세 자릿수 제곱을 이제 수행해야 할 텐데, 이 값은 500의 제곱, 즉 250,000을 넘기지 못합니다.

그렇다는 것은, 백만 자리의 숫자에 해봤자 1 또는 2의 영향밖에 주지 못한다는 것입니다.

실제로 이 경우 (526의 보수인) 474를 제곱해야 함을 알 수 있고, 이는 대략 20만대로 예상됩니다.

그렇다면 그냥 "12..."라고 외쳐도 좋습니다. (받아올림이 일어나지 않을 것을 확신했기 때문에)

저희는 한국 사람이기 때문에 아마도 이렇게 외치는 것이 좋을 것 같습니다.

"천이백..." (미국인이라면 12 million... 이 되겠습니다. 미국인이 유리하네요 ._.)

먼저 외치기 시작하면 문제를 받자마다 계산을 한 것처럼 느껴지는 효과가 있기 때문입니다.

그러면 이제 '208' 이라는 숫자만 외우고 ('노하우' 정도로 하겠습니다)

474의 제곱을 하러 갑시다. 이건 쉽네요. 224,676이 나옵니다.

이제 '노하우'를 224,676의 앞에 더하면 됩니다.

그러면 424,676 + '하우' = 432,676이 되겠습니다. 아래와 같이 마무리하면 됩니다.

"사십삼만, 이천육백칠십육." 답은 12,432,676입니다.

저는 처음에 이걸 연습할 때 항상 저기서 '676' 부분을 까먹었습니다.

그래서 한 가지 방법을 사용했는데, 6은 손가락으로 기억해두는 것입니다.

76 부분은 기억하려고 노력은 하되

까먹어버리면 그냥 원래 문제에서 뒤의 두 자릿수인 26을 제곱해서 (676) 76을 얻었습니다. 흐흐

물론 연습을 반복적으로 하다보면 이런거 필요없고 그냥 머리에 다 들어오게 됩니다.

연습해봅시다.

1. 세 자릿수 x 두 자릿수

가볍게 이전 칼럼에서 설명했기 때문에 길게 설명하지는 않겠습니다.

크게 '인수분해 기법', '덧셈 기법', '뺄셈 기법' 이렇게 세 가지를 쓸 수 있다는 건 알고 계실 것 같습니다.

그리고 저 순서대로 가능하면 하는 것이 보편적으로는 편합니다.

(인수분해 기법이 가장 까리하고 쉽기 때문입니다. 머릿속에 기억해야 할 숫자가 최대 5개라는게 강력해요)

각 기법에서 몇 가지만 짚고 넘어가겠습니다.

a) 인수분해 기법

- 큰 수부터 더하기

- 두 자릿수 대신에 세 자릿수도 인수분해할 수 있습니다. 이 경우 큰 수부터 곱해주면 됩니다.

(ex. 144 = 6 x 6 x 4, 423 = 47 x 9)

- '유리한 곱셈 값'들을 전부 외웠다면 적극적으로 활용합시다. 시간 단축과 뇌의 과부하 단축에 핵심입니다.

- 가끔 '유리한 곱셈 값'의 결과로 인수분해되는 경우가 있습니다. 예컨대, 721 = 107 x 3과 같은 경우입니다.

이 경우 세 자릿수 x 두 자릿수 문제는 사실상 두 자릿수 x 한 자릿수 문제 두 개를 푸는 것과 같습니다.

이런 경우라면 인수분해하고 시작하는 것이 훨씬 유리합니다.

예제)

b) 덧셈 기법

- 원칙적으로는 세 자릿수에서 앞의 두 자릿수만 떼어서 계산한 후, 나머지 한 자릿수를 계산합니다.

이 과정에서 한 자릿수가 날라갈 것 같다면 손으로 꼽아도 좋습니다.

- 두 자릿수가 1이나 2로 끝날 때는 두 자릿수를 쪼개는 것도 좋은 방법입니다.

- 5로 끝나는 세 자릿수와 두 자리 짝수를 곱할 때도 두 자릿수를 쪼개보는 것이 좋습니다. 

예제)

첫 번째 곱셈을 할 때 두 자릿수 x 두 자릿수 곱셈 단계에서

인수분해 기법과 무려 유리한 곱셈 값을 떠올렸다면 매우매우 훌륭합니다.

c) 뺄셈 기법

- 덧셈 기법과 똑같습니다. 다만 뺼셈에서 약간 버벅거리신다면

그냥 뺄지, 아니면 보수를 활용한 전략을 이용할 지 판단하고 뺼셈을 하는 것도 좋습니다.

- 마찬가지로 두 자릿수를 쪼개도 됩니다.

예제)

* 뺄셈 기법으로 풀어봅시다.

쉬어가기(?). 다섯 자릿수 제곱하기

우선 아래 내용을 보기 전 세 자릿수 x 두 자릿수 계산에 충분히 익숙해지셨는지 확인하시길 바랍니다.

윗 내용과 이 내용 그리고 아래 이어질 내용들 사이에는 상당한 난이도의 벽이 있습니다...

아래 예제를 봅시다.

우선 시간 제한 없이 생각나는 방법으로 시도해 보시길 바랍니다.

실패하셨죠? ㅎㅎ

네 자릿수 제곱은 중간 연산으로 하기에는 너무 무겁습니다. 따라서 다른 방법을 사용합시다.

이 문제는 아래와 같이 바꿀 수 있습니다.

문제가 두 자릿수 제곱 하나, 세 자릿수 제곱 하나, 세 자릿수 x 두 자릿수 문제로 단순화되었습니다.

(아 물론... 다섯 자릿수에 2를 곱하는 연산도 해야 하지만 이건 알아서 해보십쇼 ㅎㅎ)

저는 이렇게 단계별로 해야 할 계산이 있을 때

가장 복잡한 계산부터 하는 것을 좋아합니다.

첫 번째 단계입니다. 

뺄셈 기법이 떠오르신다고요? 좋습니다. 빠르게 계산하면 36,432입니다.

여기에 2를 곱하면 72,864가 됩니다. 이는 곧 72'애벌레' 입니다.

대응되는 한글이 바로바로 떠오르지 않는다면 대충 만들어도 됩니다.
(예시로 아빠 링... 뭐 이렇게) 대신에 까먹기 쉽다는 점은 감수하셔야 합니다. ㅠㅠ

이제 72'애벌레' 를 머릿속 한 곳에 저장해두고

(이것이 잘 와닿지 않으신다면 눈앞에 그려도 됩니다, 72와 '애벌레'를요 ㅎㅎ)

다음 단계는 두 자릿수 제곱입니다. 46을 제곱하면 2,116입니다. 

116에 72를 더하면... 대충 받아올림은 일어나지 않을 것 같습니다.

따라서 말을 시작해도 됩니다.

"2,000,000,000하고..."

(한국인인 저희는 '이십'...이라고 해야겠네요... 미국인이라면 2 billion이라고 외치면 됩니다.

이번에도 한국인이 불리합니다. ㅠㅠ)

이제 116에 72를 더하면 188이 됩니다. 이 숫자를 말하기 전에 잠시 고민해봅시다.

792의 제곱은 과연 받아올림을 일으킬까요? 일단 답은 당연히 '네' 인것 같습니다.

8에다가 대충 4? 5? 6? 뭐 이런 걸 더하면 받아올림이 일어나기 때문입니다.

이제 다음과 같이 말해봅시다.

"...189,000,000하고..." ('1억, 8천 9백...')

남은 관문은 세 자릿수 제곱뿐입니다. 여기서 한 번 더 '애벌레'를 상기시켜 줍시다.

792의 제곱은 쉬우니 생략하겠습니다. 627,264가 나옵니다.

627,264의 앞 부분에 '애벌레'를 더하고 받아올림을 무시해서 말하면 답이 됩니다!

이는 427,264 + '벌레'000 = 491,264입니다. 이제 말하면 됩니다.

"...491,264." ('49만 1264.')

축하합니다!! 답은 2,189,491,264입니다.

이 숫자를 계산하는 내내 외워둘 수는 없습니다.

그렇기 때문에 계산하면서 말해버리고, 동시에 기억에서 지워버리는 것입니다.

이 과정을 이해했다면 제가 왜 세 자릿수 제곱보다 두 자릿수 제곱을 먼저 하라고 했는지,

그리고 왜 왼쪽에서 오른쪽으로 연산해야 하는지 이해되실 것입니다.

만약 자구 627,264에서 뒤의 '264' 부분을 잊어버리신다면 (제가 그랬습니다 ㅎㅎ)

이를 다른 단어로 변환해서 추가로 외워도 됩니다.

다만 이때, 단어를 머릿속의 '단어 상자'에 넣는 순서는 유지합시다.

이런 느낌입니다.

어쩌다 보니 둘 다 벌레가 됐네요.

잠시 쉬었다가 (두뇌를 과부하시켰으니 휴식을 취하셔야 합니다)

다음 문제로 넘어갑시다.

앞과 똑같이 하되, 여기서는 세 자릿수 x 두 자릿수 에서 인수분해 기법이 좋아보입니다.

522가 9의 배수인 것이 한눈에 보이기 떄문입니다.

또한, 이 경우는 올림이 일어나지 않는 경우입니다.

계속 까먹거나 실수하신다면 처음부터 다시 찬찬히 해보세요.

답은 6,975,924,484입니다.

충분히 연습해봅시다.

...힘내십쇼

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2. 세 자릿수 x 세 자릿수

솔직히 실무적으로 쓰일 수 있는 마지막 단계입니다.

이 정도만 빠르게 해도 일반인들은 감탄을 금치 못할 것입니다.

시작은 인수분해 기법으로 해봅시다.

a) 인수분해 기법

슬프게도 대부분의 세 자릿수는 한 자릿수들로만 인수분해되지 않습니다.

그러나 이것이 가능하다면 개꿀이기 때문에 꼭 챙겨둡시다.

딱 보이시나요? ㅎㅎ

다섯 자릿수 x 한 자릿수 문제를 풀 때는 알아서 중간에서 쪼개면 됩니다.

혹시 두 자릿수 x 한 자릿수 결과를 모두 암기하고 있는 괴수라면 마구마구 쪼개도 됩니다.

그 다음으로 쉬운 경우는 다음과 같은 경우입니다.

막막해 보이지만 사실 두 숫자 모두 인수분해가 됩니다. 이하 설명은 생략하겟습니다.

그러나 위의 두 경우는 가장 쉬운 경우들입니다. 아래 경우를 보겠습니다.

사실 그래도 둘 중에서 하나만 쪼개져도 상당히 수월해집니다. 쪼개고 남은 한 자릿수는 손으로 기억해둡시다.

세 자릿수 x 세 자릿수 문제부터는 기본적으로 스케일이 너무 크기 때문에 최대한 단순화시키는 것이 이득입니다.

아래 문제도 보겠습니다. 방법을 알려드리지 않을테니 어떻게라도 풀어보시길 바랍니다.

만약 실패하셨거나 너무 오래 걸리셨다면,

첫 번째 숫자를 2로 나누고 두 번째 숫자에 2를 곱해서 다시 해보시길 바랍니다. 흐흐

이런 식으로 최대한 문제를 단순화시켜야 합니다.

위의 경우들이 아니라면 인수분해 기법은 물 건너간 것입니다.

b) 가까운 수 활용 기법

예전에 한 번 설명드렸던 것 같습니다.

참고로 저는 원래 이 기법의 이름을 '대칭이동'이라고 불렀습니당

왜 그랬는지는 한번 생각해보시길... ㅎㅎ

이 식을 이용해서 어떻게 빠르게 계산하는 것이냐?? 하실 수 있는데

아래의 예제를 봅시다.

저는 여기서 '바탕수'인 z를 400으로 잡았습니다.

저기서 이제 8만큼 '대칭이동' 시키면 400과 417이 됩니다.

(뭔가 제곱 기법과 비슷하죠?? 사실 제곱 기법은 이 기법의 특수 케이스입니다)

저기서는 400 x 417을 계산한 후, 8 x 9와 더해주면 됩니다. 쉽네요.

두 자릿수 곱셈에도 당연히 적용 가능합니다.

어라? 이번에는 더해주는 수가 음수가 되었습니다.

음수와 음수를 곱하면 양수니까 이번에도 그냥 더해주면 됩니다.

빼줘야 할 경우는 아래와 같은 경우입니다.

이 경우는 400이랑 406으로 하면 되겠네요. 매우 쉽죠? ㅎㅎ

아래 예시들을 시도해봅시다!

마지막 문제도 가까운 수 활용 기법 문제입니다. 잘 생각해보새요. ㅎㅎ

c) 덧셈 기법

앞선 방법들이 안 될때는 덧셈 기법을 사용해보시는 것이 좋습니다.

특히 두 수 중 하나가 덧셈 기법에 쓸 만한지 알아봅시다.

쓸만하다는 기준은, 인수분해가 되거나 0이 끼어 있거나 이런 경우를 의미합니다.

오, 64가 보입니다. 64는 8 x 8입니다. 따라서 아래 수를 쪼개주면 좋겠네요.

이 방법은 꽤나 다양하게 활용될 수 있는 방법이니 참고하시면 좋겠습니다.

그러나 보통 덧셈 기법은 꽤 번거로운 편입니다.

따라서 언제가 맨 마지막 계산이 쉬워지는 다른 방법이 없는지 생각해보아야 합니다.

a), b)가 가능하면 무조건 위의 방법들로 합시다. 믿어보세요.

아차, 중간에 0이 있는 경우는 그냥 무조건 덧셈 기법을 씁시다. ㅎㅎ

또는, 중간에 0이 있는 경우로 환원할 수 있는 경우도 그러합니다.

해보면 편안함에 감탄을 금치 못할 것입니다.

만만치 않은 문제 하나로 덧셈 기법 설명은 마무리하겠습니다.

명심할 것!! 11은 한 자릿수입니다. 무슨 말인지 이해가 가시나요?

d) 뺄셈 기법

두 수 중 하나를 반올림해서 끝자리를 0으로 만들 수 있는 경우,

그리고 그 수가 인수분해되는 경우

뺄셈 기법을 사용해볼 수 있습니다.

간단하게 예시만 들겠습니다.

풀이 과정이 그려지시나요?

e) 다른 방법이 없을 때 쓰는 기법

상당히 난해한 케이스입니다.

세 자릿수 x 세 자릿수 문제는 그렇게 만만하지 않습니다.

혹시 '어? 그래도 그냥 하면 되는거 아냐?' 라고 생각하시는 분들은

아무 문제나 잡아서 세 자릿수 x 한 자릿수 계산을 세 번 해서 더해보시면 생각이 바뀌실 겁니다. 흐흐

그럼 어떻게 하느냐!!

역시 쪼개야 합니다.

여기서는 세 자릿수 x 한 자릿수, 두 자릿수 x 한 자릿수, 그리고 두 자릿수 x 두 자릿수 계산으로 쪼갭시다.

아래 예시를 봅시다.

먼저 시도해봅시다. 앞서 제시한 제 방식이 이해되시는지요?

쓰고 나니 간단합니다.

가끔 뒤의 두 자릿수 x 두 자릿수 연산을 하다 보면 앞선 계산의 결과를 잊어버리는 경우가 있습니다.

이를 대비해서, '447'은 '롤렉스' 정도로 바꿔두고 1은 손가락으로 꼽아둡시다.

그리고 두 자릿수 x 두 자릿수 연산을 하고 나서 '롤렉스1'과 더해주시면 됩니다.

답은 448,477입니다.

<당부의 말>

칼럼을 내려서 더 읽기 전에, 이 위의 내용들을 철저하게 숙지하고 오셔야 합니다.

스스로 많은 문제를 만들어보시고, 틀리지 않고 빠르게 계산이 될 때까지 연습하셔야 합니다.

그렇지 않고 아래 내용을 읽으시면 엄청난 벽이 느껴질뿐더러 시간 낭비만 될 뿐입니다.

저는 충분히 경고드렸습니다!!!

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3. 다섯 자릿수 x 다섯 자릿수

우선 이 단계까지 오시느라 고생 정말 많이 하셨습니다.

이제 지금까지 익혀온 것들을 종합하기만 하면 됩니다. 그런데...

여기부터는 저도 사실 잘 못합니다. ㅎㅎ 시간이 많이 걸려요..

그러나 시간이 걸리더라도 이런 경이로운 계산을 머리로 할 수 있다는 점이  놀라울 따름입니다.

사람이 암산으로 커버가 가능한 가장 큰 범위가 여기인 것 같습니다. (iq 2000의 괴물이 아닌 이상)

그 말인 즉슨, 다섯 자릿수 x 다섯 자릿수 계산이 가능해지면 암산 공부는 끝입니다.

예제를 하나 봅시다. 바로 빡센 것부터 하겠습니다.

당연히 쪼개야 합니다. 아래와 같이 쪼개겠습니다.

순서까지 명시해드리겠습니다.

복잡했던 문제가 4개로 쪼개졌습니다. 훨 낫네요.

언제나 그랬듯이, 매도 먼저 맞는 것이 낫기 때문에 세 자릿수 x 두 자릿수 연산을 먼제 해줍니다.

일단 1단계를 마쳤습니다. 이 결과를 기억해놓아야 합니다.

저는 '도둑놈 놀이' 정도로 하겠습니다. ㅎㅎ

다음 단계로 넘어갑시다.

이건 상당히 쉽네요. '도둑놈 놀이'와 더해줍시다. 그러면 38,520이 나옵니다.

다시 이걸 기억해야 합니다. 힘드네요... 생각나는 게 없는데,

그냥 '동안, 막 노화' 이런식으로 하겠습니다. ㅋㅋㅋㅋㅋ

얼탱이가 없어도 기억만 나면 장땡입니다.

(이건 팁인데, 마지막 숫자 3개를 한 단어로 하는 걸 추천드립니다.

보통 숫자 세 개씩 끊어서 처리하기 때문입니다.)

이를 머리에 담아둔 뒤, 두 자릿수 곱셈을 해봅시다.

이제 이 지점에서 답의 일부를 말할 수 있습니다.

1,404는 사실상 1,404,000,000입니다.

1,404에 '동안'이 더해져도 받아올림이 일어나서 첫 번째 자릿수가 바뀔 일은 없어 보입니다.

그러면 "1,000,000,000 하고..."하고 말해도 되겠습니다.

그리고, 404에 '동안'을 더하면 442가 됩니다.

다시 어림짐작을 해야 합니다. 문제를 슬쩍 보고, 639 x 179가 어느 정도인지 짐작해봅니다.

'막 노화'는 520이고 저 값은 끽해봐야 200이기 때문에 올림이 일어나지 않습니다.

따라서 다음과 같이 말해봅시다.

"442,000,000 하고..."

마지막 세 자릿수 x 세 자릿수 계산은 정말 호감입니다.

(왜 그럴까요? 모르겠으면 다시 위로 돌아가서 정독해보세요.)

이제 125,244의 앞에 '막 노화'를 더하면 됩니다.

"...645,244."

축하합니다. 이런 식으로 다섯 자릿수 x 다섯 자릿수 계산을 해 나가시면 됩니다.

한 문제만 설명해 드렸지만, 연습문제는 스스로 만들어보시길 바랍니다.

무려 8,100,000,000개의 연습문제가 준비되어 있습니다. ㅋㅋㅋ

참고로, 이보다 더 어려운 버전을 원하신다면 문제를 한 번 보고 눈을 감고 해보시길 바랍니다.

(이러면 처음부터 단어 변환 암기법으로 문제를 통으로 외우고 시작해야 하는데,

이게 여간 쉽지 않습니다. ㅠㅠ 저도 여기까지는...)

이상 암산 칼럼을 마치겠습니다. 긴 글 읽어주셔서 정말 감사합니다.