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FVBVKI [1429969] · MS 2025 · 쪽지

2026-01-28 20:04:31
조회수 134

[3] 토크

게시글 주소: https://orbi.kr/00077273294

3번째 글은 돌림힘에 관한 내용임


- 책에다 풀면 시각적 효과가 떨어져서 패드로 바꿨음 -


-----


기본적으로,

질량을 거리비로 나눠서 계산할 수 있음


3층에서 받침대까지의 거리가 1:3이니 M_1의 무게를 4α로 가정

2층에서의 거리비로 M_1과 M_2의 질량비를 구할 수 있음

1층에서 양쪽이 받는 질량비를 이용하여 받침대와의 거리비로 연결


3층에서 비율로 나누면서 시작한 풀이를 1층에서 닫을 수 있게 만들어놓은 아주 고급진 문제



그런데,

사실 이렇게 대강 길이만 보고 풀 수도 있음 ㅋㅋ

보통 길이를 맞추어주기 때문에 자신있게 찍으면 됨


앞에서 이 문제를 설명할 때 3층부터 정리한 이유는 계산이 간결해지기도 하고 이후의 상황을 처리할 때 편하기 때문인데, 실이 연결된 상황에선 거의 무조건 확인하고 시작해야하는 것이 있음


바로 ‘수평방향에서의 힘 평형’ 임


양쪽 실의 힘을 맞춰주면서 연직방향 장력비가 나오고, 4(3)개의 물체의 무게중심점의 위치까지 특정할 수 있음


여기서 중요한건 질량 4m의 물체가 떨어졌을 때도 무게중심의 위치가 바뀌어선 안된다는거


왜냐하면 (앞에서 말했듯이) 장력의 수평성분을 보면 연직 성분이 무조건 3:1 으로 고정되기 때문에, 무게중심의 좌표도 불변값임을 알 수 있음. 이건 다른 물체를 추가로 올린다고 해도 마찬가지



이 문제의 상황을 좀 더 살펴보자


1층과 2층을 하나로 붙여볼 수도 있음. 길이 L만큼 어긋나 있으니 무게중심은 2 / L 만큼 옮겨지겠지 (질량이 같으니까)


그러면 2m의 무게가 무게중심 line 보다 우측으로 3 / 2 가 있으니 저울의 수평을 맞추듯이 2m 의 오각형 물체도 line에서 3 / 2 만큼 좌측에 위치해야함 (1:1 이므로 중점)


이 문제도 아래에 있는 3개의 물체를 하나로 합쳐볼 수 있다



지금껏 이야기한 질량중심(무게중심)으로 아주 간단히 풀 수 있는 문제가 있으니 첨부해보겠음

추가적인 미지수 설정 없이 그냥 등식 하나로 풀림


이유는 생각보다 간단한데,


최소 위치에서의 식과 최대 위치에서의 식을 빼면 변하지 않는 막대와 B는 날아가고 거리차만 분자에 남기 때문임


이를 알고 있으면 그냥 전체 질량 합을 분모에, 거리 변화를 분자에 넣은 값이 무게중심의 이동범위임을 도출할 수 있음.


유의해야할 점은 분모가 바뀌는 상황에선 사용이 불가능함


예를 들면 이거. 왼쪽에선 B, C, D가 같이 넘어지지만, 오른쪽에선 C, D만 넘어지므로 질량 합에 변화가 생김


(사실 C와 D가 함께 넘어지는지, D만 넘어가는지는 아직 알 수 없음. 그래서 일단 계산을 해보고 꼭 검산을 거쳐야함)


최소거리를 α라고 설정하고 구해보면 놀랍게도 0이 나옴

최대거리는 α + 6 = 6 이므로 8보다 작다

이로써 C와 D가 함께 넘어진다는 것을 알 수 있음


수식으로 증명하는 것 말고도 과자 사서 실험할 수도 있으니 한 번 해보는 것도 재밌을듯



이제 축을 비틀어서 보는 방법에 관해 이야기해보겠음

기울어진 축에 수직한 벡터가 많을 때 계산을 줄이기 위해 사용할 수 있음 (포물선운동에서 말한 것과 비슷함)


삼각형 그린건 바로 이전 글인 등속원운동에서 소개했으니 생략.


여기선 막대에 수직하게 T의 장력이 양쪽으로 작용하고, 수직항력을 그대로 사용하기 위해 축을 30°만큼 기울였다


이건 26학년도 수능완성에 있던 문제인데, 수능에 나와도 될 정도로 정말 잘 만든 문제임


처음에 말한 것처럼 수평방향 힘 평형을 먼저 잡고, 축을 기준으로 직교분해하면 됨. 여기서 핵심은 어느 벡터가 축을 어느 방향으로 회전시키는지 유의해야함. (하나라도 빠뜨리면 망함)


이 방법은 2차원의 회전을 고려할 때 똑같이 적용됨


24학년도 수능에 출제되었던 문제. 2차원 돌림힘으로 흔히 불림


2차원에선 앞에서 보여준 막대와 다르게 기준 좌표축의 설정에 자유가 있는데, 한 번에 최대한 많은 힘을 소거할 수 있거나, 구할 수 없는 힘이 있는 곳으로 축을 설정하면 됨


위에 보여준 사진은 중력으로 인한 판의 무게를 무시하기 위해 그은 좌표계임 --- (1개)



그런데, 실 a 와 b의 장력을 무시하는 것이 더 효율적이므로 아래와 같이 좌표계를 설정할 수 있음 --- (2개)

어차피 돌림힘 공식인 r X F 는 똑같으니 그냥 맞는 성분의 맞는 위치에 그대로 박아주면 된다


그리고 좌표축은 굳이 연직-수평 방향으로 설정할 필요가 있는 것은 아님. 상황에 따라 다름

이 문제같은 경우에야 무의미한 짓이지만, 아래 사진 (자작 모의고사) 같은 경우에선 훨씬 유용함
정말 예술적인 문제이니, 한 번이라도 풀어보길 권장함


마지막으로, 돌림힘 문제라고 되어있던데 사실은 힘의 평형으로만 풀리는 문제를 가져와봤음

이걸 굳이 직교분해해서 풀 필요가 있을까 싶음. 그냥 문제에 나와있는 각으로 정지 상황 만들면 끝임


-----


이렇게 3번째 글을 마치겠음. 이제 더 설명할 어려운 주제가 안남아서 (그리고 이미 공공연한 아이디어들은 설명하지 않으므로),

남은 2개는 원리적으로 또는 신기한 방식으로 풀 수 있는 문제들을 단원에 상관없이 적을 예정임


끝.


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