[연세논술 2020 4번] 단면이 안 보일 때, 상상력보다 “관점”이 먼저입니다
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공간도형 단면 문제는 실력과 별개로 한 번씩 막히는 구간이 있습니다.
“z=3으로 자르면 단면이 뭐가 되지?” 같은 질문에서요.
이번 2020학년도 연세대 수리논술(오전) 4번은
삼각기둥 ABC-DEF를 z축 방향으로 6만큼 평행이동시키는 동안 생기는 입체 V를 두고
1) z=3 단면의 모양/넓이
2) V의 부피
를 묻는 문제인데, 단면 연습 소재로 꽤 좋다고 느꼈습니다.
여기서 단면이 잘 안 보이는 분들에게 도움이 되는 관점 2가지만 정리해볼게요.
1) 이 문제의 단면은 “한 번 자른 모양”이 아니라 “지나간 흔적”에 가깝습니다
보통 단면은 정지된 입체를 한 번 자른 결과로 생각하죠.
그런데 이 문제의 V는 “움직임으로 만들어진 입체”입니다.
즉, z=3에서의 단면은 어떤 한 순간의 모습이 아니라,
- 기둥이 이동하는 동안 z=3 평면에서 나타났던 단면들이 누적된 결과
로 보는 편이 직관을 잡는 데 도움이 됩니다.
말로만 보면 어렵게 느껴질 수 있는데,
도형이 실제로 이동하고 z=3 평면이 그것을 스치며 윤곽이 잡히는 장면을 한 번 보면
이 관점이 훨씬 편하게 들어옵니다.
2) 부피는 “이동 방향”을 잡으면 2D로 내려오는 경우가 많습니다
이 문제는 z축 방향으로 평행이동이므로,
자연스럽게 xy평면에서의 “그림자(투영)”가 중요해집니다.
직관적으로는 이런 느낌입니다.
- xy평면에서 기둥의 투영 내부에 있는 점들은 이동 때문에 세로 방향으로 길이가 늘어난다(여기서는 6만큼)
- 그래서 전체 부피가 “투영 넓이 × 이동거리” 형태로 정리되는 방향이 생긴다
물론 최종식은 문제에서 주어진 좌표/조건을 써서 정리해야 하지만,
큰 구조를 이렇게 잡아두면 계산이 훨씬 덜 헤매는 편입니다.
단면/공간 직관을 올리는 간단한 연습 루틴
공간도형이 약하다고 느끼는 분들은 보통 “더 예쁘게 그려야지” 쪽으로 가는데,
실제로는 머릿속에서 시점을 옮기는 연습이 더 잘 먹히는 경우가 많습니다.
추천하는 연습은 아래 3가지입니다.
1) 이동 방향부터 확인: 무엇이 어디로 움직이는지(또는 어떤 방향으로 쌓였는지)
2) 꼭짓점 하나를 끝까지 추적: 한 점만 잡고 위치 변화를 따라가기
3) 단면을 ‘한 컷’이 아니라 ‘누적’으로 보기: 지나가며 남는 윤곽을 생각하기
이런 루틴이 쌓이면, 단면이 점점 “외워서”가 아니라 “보여서” 풀리는 쪽으로 넘어가더라고요.
저는 이 문제를 3D로 직접 돌려보면서 단면이 만들어지는 과정을 짧게 시각화한 영상(쇼츠)로도 정리해봤습니다.
혹시 단면이 잘 안 잡히는 분들은, 글로 정리한 관점을 영상으로 한 번 확인해보는 것도 도움이 될 것 같습니다.
아래 링크로 들어가 보시면 됩니다!
https://youtube.com/shorts/fiDkHmaY4H4?si=1s2ZidIeMuvrYR7H
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